Электрический потенциал сферы при заданном электрическом поле

В дополнение к ответу BMS я хочу указать на часть интеграции, как я видел, в комментариях у вас есть некоторые проблемы в части интеграции.

Сначала вы должны были написать единичные векторы в выражении электрического поля.

Электрические поля

$\vec{E}_{\text{in}}(\vec{r})=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r\hat{r}$и$\vec{E}_{\text{out}}(\vec{r})=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{r}$ $\ $(очевидно, электрическое поле направлено радиально наружу из-за симметрии сферической симметрии)

$\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi$

$\vec{E} \cdot d\vec{r}=-\vec{\nabla}\phi \cdot d\vec{r}= -d\phi$

$\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E} \cdot d\vec{r}=-\int_\vec{a}^\vec{r}d\phi$

$\phi(\vec{r})-\phi(\vec{a})=-\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E} \cdot d\vec{r}$

из многих возможных путей мы собираемся выбрать наш путь радиально из-за консервативной природы электрического поля. так$d\vec{r}= d(r \hat{r})=dr \hat{r}$, с$\hat{r}$остается неизменным вдоль радиального направления, мы имеем$d\hat{r}$=0. Этого не было бы, если бы мы выбрали любой другой путь между точками$\vec{a}$и$\vec{r}$.

так,$\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E_{in}} \cdot d\vec{r}=\int_\vec{a}^\vec{r}\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r\hat{r} \cdot dr \hat{r}=\int_\vec{a}^\vec{r}\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r dr=\int_a^r\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r dr$

см. на последнем шаге знак вектора опущен, так как интегрирование зависит только от r, но не от ($\theta,\phi$).

так,$\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E_{in}} \cdot d\vec{r}=\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} -\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}$

так,$\phi_{in}(\vec{r})-\phi_{in}(\vec{a})=-(\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} -\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3})=-\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} +\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}$ $\phi_{in}(\vec{r})=-\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} +\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}+\phi_{in}(\vec{a})$

$\phi_{in}(\vec{r})=-\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} +C1$

где С1=$\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}+\phi(\vec{a})$

Примечание. Я думаю, у вас есть проблемы с векторным анализом. Вы можете посмотреть «Векторный анализ (схема Шаума) Шпигеля». Это отличная книга.

Я действительно не знаю, что это за интегралы

Этот вопрос кажется очень широким, и я не знаю, что на самом деле подразумевается под этим утверждением. Возможно информация ниже поможет.

Я думаю, что мой профессор хотел, чтобы это было ⋅ в интегралах, но пропустил их.

Согласованный. Просто посмотрите на определение электрического потенциала , чтобы убедиться в этом.

Я не знаю [...], как они следуют из приведенного выше уравнения.

Кратко опишу общие шаги. Суть лучше оставить для более узкого вопроса.

Мы хотим вычислить линейный интеграл

$$\phi\equiv-\int \vec E \cdot d \vec s$$ по некоторому пути, который обычно обозначается $C$. (Иногда вы увидите индексы в интеграле, указывающие на это, например $\int_C$.) Общий вопрос при изучении этого — спросить, какой путь? Ответом является любой путь от произвольной контрольной точки (которую вы выберете) к точке $(x,y,z)$на котором вы хотите оценить потенциал. Часто люди выбирают бесконечность в качестве точки отсчета, а это означает, что физики обычно пишут что-то вроде $r=\infty$как нижняя граница. Теперь вам не нужно делать этот выбор. Если вы сделаете другой выбор для произвольной контрольной точки, а затем сравните свой окончательный результат для потенциала с результатом еще одного выбора, вы обнаружите, что результаты отличаются только на постоянное значение.

Это довольно удивительно. (Попробуйте, чтобы убедиться в этом сами.) Теперь, действительно умный способ сделать эти линейные интегралы для потенциала состоит в том, чтобы просто выписать неопределенный интеграл и добавить постоянную интегрирования в конце. Так сделал ваш инструктор.

Другой способ понять, почему это работает, — вспомнить, что, в конце концов, нас обычно больше интересует электрическое поле.$\vec E=-\vec \nabla \phi$. Так кого волнует, что такое постоянная интегрирования? Он исчезает, когда вы берете производную.

Я не могу понять, откуда берутся эти интегралы (т.е. почему они дают потенциал), что эти интегралы означают

Они исходят из определения электрического потенциала$\phi$. Больше ничего. Термин «электрический потенциал» означает$-\int \vec E \cdot d\vec s.$

Что касается того, что означает такой интеграл , не так много. Но различия в электрическом потенциале (он же напряжение или разность электрических потенциалов ) говорят вам нечто похожее на потенциальную энергию на единицу заряда. В Интернете или в вашем учебнике есть много ресурсов, посвященных этому вопросу.