Расчет электростатической энергии на единицу длины цилиндрической оболочки, окруженной коаксиальным кабелем.

Предположим, что имеется бесконечно длинная цилиндрическая оболочка радиуса$a$несет поверхностную плотность заряда$\sigma_0$и окружен коаксиальным кабелем с внутренним радиусом$b$и внешний радиус$c$с равномерной плотностью заряда$\rho_0$так, чтобы объединенная система была нейтральной.

Меня попросили рассчитать электростатическую энергию двумя эквивалентными способами, используя

$$W=\frac{1}{2}\int\rho V\,\mathrm{d}\tau$$ и $$W=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}\tau.$$ По какой-то причине, которую я пытался (тщетно) найти, я не получаю того же результата, и я был бы признателен, если бы кто-нибудь помог точно определить, что пошло не так.

Я думаю, что это довольно тривиально, но это утомительно, и я, должно быть, где-то упустил что-то, достаточно смущающее.

Сначала я вычисляю$\rho_0$с точки зрения$\sigma_0$. Рассмотрим некоторую длину$L$вдоль системы. Заряд вдоль внутренней оболочки$2\pi aL\sigma_0$а заряд по коаксиальному кабелю равен$\pi c^2L\rho_0-\pi b^2L\rho_0=\pi L\rho_0(c^2-b^2)$. Приравняв их сумму к 0,

$$\rho_0=-\frac{2a\sigma_0}{c^2-b^2}$$

Затем я применяю закон Гаусса, чтобы независимо найти электрическое поле внутренней цилиндрической оболочки и коаксиального кабеля, и суммирую их вместе, чтобы получить электрическое поле для системы в целом.

Сначала рассмотрим внутреннюю цилиндрическую оболочку и построим гауссовский цилиндр длины L. Из-за симметрии электрическое поле должно быть направлено только в$\hat{\mathbf{s}}$направление и является функцией$s$только. Для$s<a$, закон Гаусса подразумевает, что электрическое поле равно нулю. Для$s>a$, прилагаемый заряд$Q=2\pi aL\sigma_0$, так$|\mathbf{E}|2\pi sL=Q/\epsilon_0$урожаи$\mathbf{E}=(a\sigma_0/s\epsilon_0)\hat{\mathbf{s}}$.

Затем рассмотрим коаксиальный кабель и гауссов цилиндр длины L. Согласно закону Гаусса внутри кабеля электрическое поле равно нулю.$b<s<c$, прилагаемый заряд$Q=\rho_0\pi L(s^2-b^2)$, а поверхностный интеграл равен$|\mathbf{E}|2\pi sL$, поэтому электрическое поле равно$\mathbf{E}=(\rho_0/\epsilon_0)(s^2-b^2)(1/2s)\hat{\mathbf{s}}$, и аналогично для$s>c$, это$\mathbf{E}=(\rho_0/\epsilon_0)(c^2-b^2)(1/2s)\hat{\mathbf{s}}$.

Теперь я комбинирую эти выражения, чтобы получить кусочную функцию для электрического поля.

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\left\{ \begin{array}{lr} 0 & s<a\\ \frac{a\sigma_0}{s\epsilon_0}\hat{\mathbf{s}} & a<s<b\\ \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\frac{1}{s}\left(1+\frac{s^2-b^2}{b^2-c^2}\right)\hat{\mathbf{s}} & b<s<c\\ 0 & c<s \end{array} \right.$$

Теперь по электрическому полю вычислим потенциал, взяв$\infty$в качестве нашей точки отсчета и прокладывая себе путь внутрь, чтобы говорить. Потенциал для$s>c$конечно, 0, потому что электрическое поле там тоже 0.

Предположим, что$b<s<c$. Тогда потенциал$V=V_1(s)$, где

$$\begin{align} V_1(s)&=-\int_c^s\left(\frac{a\sigma_0}{s'\epsilon_0}+\frac{\rho_0(s'^2-b^2)}{2s'\epsilon_0}\right)\,ds'=-\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\int_c^s\frac{1}{s'}\left(1+\frac{s'^2-b^2}{b^2-c^2}\right)\,ds'=-\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left.\left(\frac{s'^2-2c^2\ln s}{2b^2-2c^2}\right)\right|_c^s\\ &=\frac{a\sigma_0}{2\epsilon_0(b^2-c^2)}\left(c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)\right)=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\frac{1}{2}\left(\frac{c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)}{b^2-c^2}\right) \end{align}$$

Предположим, что$a<s<b$. Тогда потенциал$V=V_1(b)+V_2(s)$, где

$$V_1(b)=\frac{a\sigma_0}{2\epsilon_0(b^2-c^2)}\left(c^2-b^2+c^2\ln(b/c)\right)=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)$$ $$\begin{align} V_2(s)&=-\int_b^s\frac{a\sigma_0}{s'\epsilon_0}\,ds'=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/s) \end{align}$$ Предположим, что $s<a$. Тогда потенциал $V=V_1(b)+V_2(a)$, где $$V_2(a)=\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/a)$$

Обобщить,

$$V(s)=\left\{ \begin{array}{lr} \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/a) & s<a\\ \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/s) & a<s<b\\ \frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\frac{1}{2}\left(\frac{c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)}{b^2-c^2}\right) & b<s<c\\ 0 & c<s \end{array} \right.$$

Далее я перейду к расчету электростатической энергии. Поскольку я хочу получить энергию на единицу длины, я опускаю интегрирование по$z$ось от$z_0$к$z_0+L$, так как мультипликативный множитель$L$в конце концов все равно исчезнет.

Я могу рассчитать электростатическую энергию с помощью$W=\frac{1}{2}\int\rho V\,\mathrm{d}\tau$. Нам нужно только рассмотреть регионы, где$\rho$отлична от нуля, а именно цилиндрическая поверхность и$b<s<c$. У нас есть

$$\begin{align} W&=\frac{1}{2}\int\rho V\,d\tau\\ &=\pi a\sigma_0\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right) + \pi a\sigma_0\frac{a\sigma_0}{\epsilon_0}\ln(b/a) \\ &\quad + 2\pi\frac{1}{2}\frac{-2a\sigma_0}{c^2-b^2}\int_b^c\frac{a\sigma_0}{2\epsilon_0(b^2-c^2)}s\left(c^2-s^2+c^2\ln(s/c)\right)\,ds\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left[\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\int_b^cs\left(c^2-s^2+2c^2\ln(s/c)\right)\,ds\right]\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left[\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\left.\left(c^2s^2\ln(s/c)-\frac{1}{4}s^4\right)\right|_b^c\right]\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left[\left(\frac{c^2\ln(b/c)}{b^2-c^2}-\frac{1}{2}\right)+\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\left(-b^2c^2\ln(b/c)-\frac{1}{4}c^4+\frac{1}{4}b^4\right)\right] \end{align}$$

Теперь я вычислю электростатическую энергию с помощью$W=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}\tau$. У нас есть

$$\begin{align} W&=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,d\tau=\pi\epsilon_0\int_0^\infty E^2s\,ds=\pi\epsilon_0\frac{a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0^2}\int_a^bs\frac{1}{s^2}\,ds + \pi\epsilon_0\frac{a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0^2}\int_b^c\frac{1}{s}\left(1-\frac{s^2-b^2}{c^2-b^2}\right)^2\,ds\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left(\ln(b/a)+\frac{1}{(b^2-c^2)^2}\left.\left(c^4\ln s-c^2s^2+s^4/4\right)\right|_b^c\right)\\ &=\frac{\pi a^2\sigma_0^2}{\epsilon_0}\left(\ln(b/a)+\frac{c^4\ln c-c^4\ln b-c^4+b^2c^2+(1/4)c^4-(1/4)b^4}{(b^2-c^2)^2}\right) \end{align}$$

При осмотре кажется, что они не равны. Очевидно, это неправильно.

Изменить: я исправил это! Теперь они равны!