Электрическое поле снаружи и внутри полости проводника

Ключевое отличие состоит в том, что в примере из книги Гриффитса часть петли внутри резонатора следует силовой линии (если есть силовые линии), что означает, что электрическое поле в каждой точке этой части петли равно касательной к петле и направленной в том же направлении вдоль петли. Это означает, что для кривой книги вклад в$\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$либо равен нулю, либо положителен. Однако кривая, которую вы нарисовали на втором рисунке, не обязательно соответствует линии электрического поля. Если за пределами проводника существует ненулевое электрическое поле, то ваша кривая будет идти с электрическим полем для одной его части и против электрического поля для другой части. Эти два вклада аннулируются.

С точки зрения математики, если$\vec{r}(t)$представляет собой параметрическую кривую , описывающую петлю, затем касательный вектор к этой кривой как функцию$t$является$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}(t)$. Если кривая следует линии электрического поля (или если электрическое поле везде равно нулю),$\vec{E}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) \parallel \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}(t)$, так

$$\vec{E}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\vec{r}(t) = E\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\biggl|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\vec{r}(t)\biggr| \ge 0$$ Неравенство исходит из того, что обе величины в произведении строго неотрицательны в каждой точке. На самом деле, единственный способ, которым это может быть равно нулю, это если$E\bigl(\vec{r}(t)\bigr)$равен нулю в каждой точке кривой. Затем вы можете использовать этот факт, чтобы найти, что $$\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\int_{0}^{1}\vec{E}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\vec{r}(t)\ \mathrm{d}t \ge 0$$