Как математически показать, что электрическое поле внутри проводника равно нулю?

Граничные условия сами по себе ничего не могут сказать о проводнике. Граничные условия даже не могут сказать, на какой стороне поверхности находится проводник!

Одним из способов моделирования проводника является омический проводник с постоянной$\sigma$(отличается от плотности поверхностного заряда, указанной в ваших граничных условиях), а затем вы утверждаете омическое условие:

$$\vec J=\sigma \vec E$$ и тогда вы можете взять расхождение обеих сторон и получить $$\sigma\frac{\rho}{\epsilon_0}=\sigma\vec \nabla \cdot \vec E = \vec \nabla \cdot \vec J$$

Где мы использовали уравнение Максвелла$\dfrac{\rho}{\epsilon_0}=\vec \nabla \cdot \vec E$и мы также можем взять расхождение

$$\vec \nabla \times \vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}$$ чтобы получить уравнение неразрывности

$$\vec \nabla \cdot \vec J=-\epsilon_0\vec \nabla \cdot\frac{\partial \vec E}{\partial t}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}.$$

Это означает, что у нас есть

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\vec \nabla \cdot \vec J=-\frac{\sigma}{\epsilon_0}\rho.$$

Таким образом, вы могли начать с начальной плотности заряда, но в каждом месте внутри проводника она экспоненциально убывает со временем.

И это относится к исходной формулировке электродинамики. Вы начинаете с реального физического электромагнитного поля в данный момент, а затем оно развивается в соответствии с

$$\frac{\partial \vec B}{\partial t}=-\vec\nabla \times \vec E, \text{ and}$$

$$\frac{\partial \vec E}{\partial t}=\frac{1}{\epsilon_0}\left(\frac{1}{\mu_0}\vec\nabla \times \vec B-\vec J\right)$$

Таким образом, поля в более позднее время являются следствием полей в более раннее время (и текущих) и приведенных выше уравнений эволюции.

Итак, для омического материала мы знаем$\vec J$поэтому мы можем эволюционировать поля, потому что уравнения эволюции просто решаются Максвеллом для скорости изменения во времени.

Итак, у вас было начальное распределение заряда и начальное электрическое поле. Они могли быть нулевыми, а могли быть и отличными от нуля.

Я видел много «концептуальных» аргументов, что если бы существовало поле, то заряды двигались бы и создавали поле, нейтрализующее это поле.

Если вы думаете о статике как о длительном временном пределе динамики, то вам не нужно прибегать к концептуализации. Омический материал буквально имеет ненулевой ток там, где есть ненулевое электрическое поле. Но этот ток вызывает исчезновение заряда, вы можете представить себе места, где плотность заряда изначально положительна и отрицательна, и начальные линии тока электрического поля могут соединять некоторые из них и / или он может соединять эти места с поверхностью. И поскольку ток направлен одинаково, мы можем видеть, что эта экспоненциально уменьшающаяся плотность заряда возникает из-за того, что противоположные плотности заряда компенсируют друг друга по мере того, как заряды текут или дисбаланс заряда перемещается к поверхности, таким образом увеличивая плотность заряда поверхности с течением времени.

Плотность заряда на поверхности может меняться иначе, чем экспоненциально уменьшающаяся во времени. Почему? Потому что$\sigma$(из омического условия) непостоянна по всей поверхности на границе проводника. В самом деле, на границе проводника может быть вакуум с$\vec J=\vec 0$на другой стороне.

Можем ли мы утверждать, что электрическое поле внутри равно нулю? Да и нет. С одной стороны, если мы утверждаем, что часть статики$\vec J=\vec 0$тогда у нас есть$\vec E=\vec 0$сразу. Но это больше похоже на предположение. Но если вы позволите$\vec J\neq \vec 0$тогда ваш проводник может иметь нулевую плотность заряда везде, но иметь постоянный ток, пока на границу проводника подается ток, необходимый для этого постоянного тока.

Это абсолютно верное решение Максвелла — иметь цилиндрический бесконечный провод, направленный в$\hat z$направление с равномерным ненулевым$\vec J$указывая на$\hat z$направление внутри цилиндрической бесконечной проволоки.

Поэтому всякий раз, когда у вас есть контрпример, вы знаете, что вам нужно усилить свою гипотезу. В этой ситуации может быть статическое неизменное электрическое поле, но ненулевой ток.

Вам нужно использовать закон Ома :$J = \sigma E$что должно быть добавлено к уравнениям Максвелла как массовое наблюдение, как объясняется в этом ответе .

Затем вы можете сделать вывод, что электрическое поле равно нулю в проводнике для:

• идеальный проводник, где$\rho = 1/\sigma = 0$и$J$конечен
• статический случай, когда$J = 0$и$\sigma$конечен

В электростатическом случае, согласно уравнениям Пуассона, уравнение электрического поля для пустого резонаторного пространства$\mathcal V$без электрических зарядов$\rho (\vec r) = 0$и электростатический потенциал$\Phi (\vec r)$на позиции$\vec r$является:

$$\begin{equation} \nabla^2 \Phi = \frac{\rho}{\epsilon} = 0. \label{poisson} \tag{1} \end{equation}$$ Если взять интеграл от квадрата электрического поля по объему полости: $$\begin{equation} I = \int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \int_{\mathcal V} d V \; \left[ \vec \nabla . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right) - \Phi \nabla^2 \Phi \right]. \label{efint} \tag{2} \end{equation}$$ В соответствии с ( $\ref{poisson}$), 2-й член в ( $\ref{efint}$) может равняться нулю, поэтому мы можем написать: $$\int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \int_{\mathcal V} d V \; \vec \nabla . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right).$$ Теперь, используя теорему Гаусса о дивергенции, этот объемный интеграл можно переписать в поверхностный граничный интеграл: $$\begin{equation} \int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \int_{\mathcal S} d \vec S . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right). \label{sint} \tag{3} \end{equation}$$ Поскольку речь идет о полости в проводнике, электростатический потенциал везде в проводящем материале, в том числе и на граничных стенках полости, равномерно постоянен, т.е.$\Phi (\vec r) = \Phi_s \ \forall \ \vec r \in \mathcal S = \partial \mathcal V$. Таким образом, поверхностный интеграл полости можно переписать как: $$\begin{equation} \int_{\mathcal S} d \vec S . \left( \Phi \vec \nabla \Phi \right) = \Phi_s \int_{\mathcal S} d \vec S . \left( \vec \nabla \Phi \right) = \Phi_s \int_{\mathcal V} d V \; \nabla^2 \Phi. \label{nsint} \tag{4} \end{equation}$$ Таким образом, применяя уравнение Пуассона ( $\ref{poisson}$) опять имеем $$\int_{\mathcal V} d V \; | \nabla \Phi |^2 = \Phi_s \int_{\mathcal V} d V \; \nabla^2 \Phi = 0,$$ и с тех пор$| \nabla \Phi |^2 \geq 0$, можно сказать, что единственный путь для интеграла$I$исчезнуть это $$\begin{equation} \boxed{\vec E = \vec \nabla \Phi (\vec r) = 0.} \label{nullef} \tag{5} \end{equation}$$

Закон Ома

$$\begin{equation}J=\sigma E \end{equation}$$

Подставляя закон Ома в$\nabla . E=\frac{\rho}{\epsilon}$дает

$$\nabla .J=\frac{\sigma \rho}{\epsilon}$$

Уравнение непрерывности (сохранение заряда) имеет вид

$$\nabla . J=- \frac{\partial\rho}{\partial t}$$

Приравнивание двух приведенных выше уравнений дает

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\frac{\sigma \rho}{\epsilon}$$ Решение этого уравнения просто

$$\rho = \rho (0)\exp(-\frac{\sigma t }{\epsilon})$$ где $\rho (0)$- плотность заряда в момент времени, t=0.

Мы вывели уравнение, описывающее изменение плотности заряда внутри материала со временем. Для проводника проводимость,$\sigma$велико и, следовательно,$\rho$будет экспоненциально (и быстро) стремиться к нулю со временем ВНУТРИ проводника. Следовательно, внутри проводника мы можем записать первое уравнение Максвелла как:

$$\nabla . E =\frac{\rho}{\epsilon}=0$$

Закон Гаусса говорит нам, что

$$\int E.dS=\int (\nabla . E) dV=0 (from above)$$ [см. https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_law]

Поскольку закон Гаусса должен выполняться для любой замкнутой поверхности внутри проводника, мы заключаем, что E должно быть тождественно равно нулю внутри проводника.

Я бы лично использовал принцип наименьшего действия: точка, в которой плотность заряда остается статической, будет точкой, в которой поле имеет минимальную энергию. Мы можем вычислить энергию электрического поля по следующей формуле:

$$E=\frac{1}{2}\int \varepsilon|\mathbf{E}|^2dV$$

Если принять однородный проводник, то можно сказать:

$$E=\frac{\varepsilon}{2}\int|\mathbf{E}|^2dV$$

Теперь мы подошли к моему любимому способу взглянуть на это. Скажем, у нас есть два числа:$n$и$m$. Мы хотим минимизировать сумму квадратов этих двух, когда$m+n=o$. Теперь давайте сначала предположим, что наше решение придет, когда они равны:

$$n=m=\frac{o}{2}$$

И таким образом мы можем сказать, что:

$$m^2+n^2=2\frac{o^2}{4}=\frac{o^2}{2}$$

Моя гипотеза состоит в том, что при добавлении произвольного числа к одному значению и вычитании его из другого сумма их квадратов будет увеличиваться. И так ищем:

$$\Delta = \left(m-\delta\right)^2+\left(n+\delta\right)^2-\left(m^2+n^2\right)$$

Раскрываем скобки и приравниваем$m$и$n$, можно показать, что изменение всегда положительно.

Затем это можно сделать аналогично формуле для электрического поля. Если вы уменьшите вклад в электрическое поле одной области, уменьшив ее заряд, вам нужно добавить этот заряд в другом месте, что приведет к большему эффекту. (Извините, это сделано по памяти, из доказательства, которое я сделал много лет назад, поэтому я прошу прощения, если я вообще это испортил!)

В принципе, минимальная энергия для среды — это энергия, при которой распределение электрического поля является равномерным.