Электрическое поле внутри проводника отлично от нуля

Плотность заряда на поверхности проводника сингулярна, поэтому закон Гаусса не может быть четко определен, если поверхность, которую вы рисуете, проходит через поверхность проводника. Вы можете поместить поверхность немного внутрь проводника, и поверхностный заряд не будет улавливаться, что не создаст поля внутри проводника, или вы можете поместить поверхность сразу за проводником, и заряд будет улавливаться, отражая, что поверхностный заряд создает поле вне проводника.

Чтобы включить плотность поверхностного заряда, гауссова поверхность должна находиться сразу за пределами поверхностей. Входящий поток будет пропорционален включенному отрицательному заряду на этой поверхности, а исходящий поток пропорционален включенному положительному заряду на другой поверхности (без поля или потока в проводнике).

Закон Гаусса говорит об общем заряде внутри поверхности. В частных случаях также можно сделать выводы о значении$\bf E$на поверхности. На вашем примере нельзя сделать вывод, что$\bf E\neq 0$внутри проводника.

Обратите внимание, что утверждение о том, что$\bf E = 0$внутри проводника верно только в масштабе, где лежащую в основе ионную систему можно рассматривать как континуум. В этом масштабе поверхностный заряд имеет нулевую толщину. В атомном масштабе$\bf E = 0$только в среднем на большие расстояния.

Только закон Гаусса можно использовать только для оценки электрического поля зарядов, содержащихся внутри гауссовой поверхности. Вклад за счет зарядов снаружи всегда умирает.

Вы можете доказать, что любое внешнее поле вне гауссовых поверхностей умирает при взятии интеграла. Следовательно, вы не можете говорить о чистом поле, используя закон Гаусса.

ОП в комментариях:

Вы ошибаетесь в математике здесь, в встречном примере, во-первых, вы вынимаете E из интеграла, считая его постоянным, что неверно, факт в том, что ни величина E, ни направление не одинаковы во всех точках гауссова поверхности, так что вы не можете выполнять математику так просто.

Рассмотрим электрическое поле, определенное на гауссовой поверхности, разложенное следующим образом: Enet=E+E' E возникает из-за заряда внутри гауссовой поверхности, а E' из-за заряда снаружи. Рассмотрим случай удаления заряда внутри и оценки потока через границу за счет внешнего заряда, в этом случае мы находим, что поток за счет внешнего заряда равен нулю по закону Гаусса. Теперь, снова вставив старый заряд, мы находим, что ∫Enet⋅dS=∫EdS, и мы можем оценить его поле по мере необходимости, вытащив E.

В конечном счете, дело в том, что закон Гаусса бесполезен для каких-либо заявлений о полях, вызванных зарядами за пределами гауссовой поверхности, потому что они всегда будут вызывать нулевой поток независимо от распределения.