Электрическое поле в конденсаторе с диэлектриком с переменной диэлектрической проницаемостью

Question

Электрическое поле в конденсаторе с диэлектриком с переменной диэлектрической проницаемостью

Зорич

Рассмотрим следующий плоский конденсатор с разностью потенциалов $V$ через его пластины:

введите описание изображения здесь

Я видел некоторые задачи, в которых предполагался диэлектрик с переменной электрической проницаемостью

ϵ "=" ϵ_{0} (1 + \frac{г}{а})

$\epsilon=\epsilon_0\left(1+{z\over a} \right)$ или что-то подобное (но функция z) между пластинами.

С этими переменными диэлектрическими проницаемостями, как мы можем, как обычно, применять граничные условия, а также использовать формулу потенциала, которую мы используем для решения диэлектрических задач?:

В "=" \int_{г "=" 0}^{г "=" а} \vec{Е} . д \vec{л}

$V=\int_{z=0}^{z=a} \vec{E}.d \vec l$

ϵ_{а б о в е} {\vec{Е}}_{а б о в е} . \hat{н} - ϵ_{б е л о ж} {\vec{Е}}_{б е л о ж} . \hat{н} "=" о_{ф р е е}

$\epsilon_{above}\vec{E}_{above}.\hat n-\epsilon_{below}\vec{E}_{below}.\hat n=\sigma_{free}$ или, что то же самое, как мы можем найти электрическое поле между пластинами?

Руслан

Попробуйте представить свой диэлектрик как состоящий из

n

$n$ слои с различной (но постоянной внутри слоя) диэлектрической проницаемостью. Затем используем обычные граничные условия между этими слоями и берем предел

n \to \infty

$n\to\infty$ чтобы получить окончательное уравнение.

Ответы (1)

Электрическое поле в конденсаторе с диэлектриком с переменной диэлектрической проницаемостью

Попробуйте представить свой диэлектрик как состоящий из $n$ слои с различной (но постоянной внутри слоя) диэлектрической проницаемостью. Затем используем обычные граничные условия между этими слоями и берем предел $n\to\infty$ чтобы получить окончательное уравнение.

джошфизика · Answer 1

Везде внутри диэлектрика выполняется следующее (закон Гаусса внутри среды) уравнение

\nabla \cdot Д "=" р_{ф р е е}, Д "=" ϵ Е

$\nabla\cdot\mathbf D = \rho_\mathrm{free}, \qquad \mathbf D = \epsilon\mathbf E$ Внутри диэлектрика нет свободного заряда, поэтому имеем уравнение

\nabla \cdot (ϵ Е) "=" 0, 0 < г < а

$\nabla\cdot(\epsilon\mathbf E) = 0, \qquad 0<z<a$ Теперь вспомним определение электрического потенциала;

Е "=" - \nabla В

$\mathbf E = -\nabla V$ что поэтому дает

\nabla \cdot (ϵ \nabla В) "=" 0, 0 < г < а

$\nabla\cdot(\epsilon\nabla V) = 0, \qquad 0<z<a$ задача симметрична относительно поворотов вокруг

z

$z$ , так что берем анзац

В (Икс, у, г) "=" в (г)

$V(x,y,z) = v(z)$ то приведенное выше уравнение дает

\frac{д}{д г} (ϵ (г) \frac{д}{д г} в (г)) "=" 0, 0 < г < а

$\frac{d}{dz}\left(\epsilon(z) \frac{d}{dz}v(z)\right) = 0, \qquad 0<z<a$ Теперь вам просто нужно решить это уравнение с учетом соответствующих граничных условий

в (0) "=" 0, в (а) "=" В_{0}

$v(0) = 0, \qquad v(a) = V_0$ Когда у вас есть потенциал, вы можете получить электрическое поле, взяв градиент.

Большое спасибо! Один момент: кажется, что окончательный DE должен быть ${d\over dz}(\epsilon (z) {dv(z)\over dz})=0$ . Это правильно ?
И если мое уравнение в комментарии будет правильным уравнением, то я не могу найти поле, потому что у меня нет нужных граничных условий для ${dv\over dz}$ .
Да, это была опечатка, спасибо. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить, используя ваши два граничных данных. Вам не нужна нормальная производная потенциала на границе. Проинтегрируйте уравнение один раз, затем используйте разделение переменных и снова проинтегрируйте. В результирующем выражении для $v(z)$ которая может быть решена для использования граничных данных.

Электрическое поле в конденсаторе с диэлектриком с переменной диэлектрической проницаемостью

Зорич

Руслан

Ответы (1)

джошфизика

Зорич

Зорич

джошфизика

Напряженность электрического поля в диэлектрике внутри конденсатора

Сохранение энергии или нет? В процессе с участием конденсатора

Конденсаторы в последовательной цепи с диэлектриком

Как найти потенциал, создаваемый сферическим конденсатором с диэлектрическим материалом?

Электрическая потенциальная энергия заряженного проводника

Диэлектрическая пластина, вставленная в конденсатор постоянного напряжения

Поле внутри пластинчатого конденсатора с диэлектрическим материалом

Определен ли связанный заряд на бесконечности?

Распределение заряда на пластине конденсатора с диэлектриками.

Как рассчитать работу электростатических сил в плоском конденсаторе?