Энергетическая и временная эволюция частицы в потенциальной яме

Сначала нормализуйте состояние, чтобы найти$A$.

Затем нужно выразить состояние как суперпозицию стационарных состояний бесконечной квадратной ямы:

$$\psi\left(x\right) = A x \left(a-x\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right),$$ где $\psi_n\left(x\right) = \sqrt{2/a} \sin\left(n \pi x / a\right)$это $n$-е стационарное состояние. Вы можете сделать это, используя ортогональность стационарных состояний, $$\int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \psi_n\left(x\right) = \frac{2}{a} \int_0^a dx \ \sin\left(\frac{m \pi x}{ a}\right) \sin\left(\frac{n \pi x}{ a}\right) = \delta_{mn},$$ путем интегрирования приведенного выше уравнения: $$\begin{align} \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \left[A x \left(a-x\right)\right] &= \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \left[ \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right) \right] \\ &= \sum_{n=1}^\infty c_n \left[ \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right)\psi_n\left(x\right) \right]\\ &= \sum_{n=1}^\infty c_n \delta_{m n} \\ &= c_m \end{align}$$ я оставлю $c_n = A \sqrt{2/a} \int_0^a dx \ \sin\left(n \pi x / a\right) x \left(a-x\right)$интеграл для вас, чтобы работать.

Как только у вас есть$c_n$, наиболее вероятным значением измерения энергии является энергия, соответствующая стационарному состоянию с максимальным$c_n$.

Чтобы найти вероятность измерения$9 \hbar^2 \pi^2 / 2 m a^2$для энергии, определить стационарное состояние, которому соответствует эта энергия, и вычислить$\left|c_n\right|^2$.

Для временной эволюции, поскольку потенциал$0$везде после$t=0$, это свободная частица, и общее решение:

$$\Psi\left(x,t\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty dk \ \phi\left(k\right) \exp\left[i\left(k x + \frac{\hbar k^2}{2 m} t\right)\right],$$ где $$\phi\left(k\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^a dx \ \Psi\left(x,0\right) \exp\left(-i k x\right) = \frac{A}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^a dx \ x\left(a-x\right) \exp\left(-i k x\right) .$$ Итак, теперь вам просто нужно сделать этот интеграл.