Я пытаюсь понять разницу между множествами с эпистемологической точки зрения.
Пусть S будет конечным множеством мощности = n . Я считаю интуитивно понятным, что я могу эпистемически удерживать множество S без каких-либо особых усилий. Конечно, чем больше n , тем сложнее его удержать, но я не вижу никакой логической границы.
Теперь пусть P — счетное бесконечное множество (например, N), становится труднее думать, что я могу одновременно содержать все элементы N. Кажется, что я знаю множество натуральных чисел меньше, чем одно из его подмножеств.
Давайте теперь увеличим сложность, пусть R будет неисчислимым множеством мощности Алеф1, мое эпистемическое понимание этого, кажется, угасает все больше и больше.
Мы можем распространить наши рассуждения на сложности, гораздо большие, чем действительные числа, такие как многообразие кардиналов .
В каком смысле наше эпистемическое понимание множеств уменьшается? и почему? Какая особенность множеств ограничивает нашу способность их познавать?
Я согласен с приведенным выше ответом, но я рассмотрю проблему с другой точки зрения.
Пусть S — конечное множество мощности = n ;
понятно, что с н "мало, у нас нет проблемы "удержать эпистемически" (вообразить? визуализировать?) его.
Я не уверен в наборе S с n = 3567 элементами.
Наверняка набор S с n = 6665734529976967438675338965633321266643790584532111111 элементов весьма далек от того, чтобы его «легко удерживать».
Рассмотрим теперь множество N , которое включает в себя «начальный» элемент, назовем его 0 , и для каждого элемента n оно включает также его «преемника», назовем его S(n) .
Мы «определили» простым и понятным способом множество N натуральных чисел , которое имеет бесконечные (точно: счетное множество) элементы.
Базовую концепцию неограниченной возможности повторения , которая является «ядром» потенциальной бесконечности , гораздо легче понять, чем «очень-очень большое» конечное число.
А как насчет алеф-один ?
Предполагая, что он равен c , здесь мы должны начать с так называемой реальной строки ; Какова роль «непрерывной» величины в нашем мышлении? Нам это нужно «только» внутри математики?
Для малых чисел мы полагаемся на наше физическое понимание. Я вижу три чашки и могу бросить 5 мячей для крикета. Для больших чисел это невозможно, и другие возможности берут верх. Рассмотреть возможность:
678
1256745
Второе число намного больше первого. Но у меня нет физической оценки этого факта. (Можно увеличить это, обучаясь количественной физике); но здесь все намного проще, поскольку мы можем полагаться на ту же парадигму малых чисел, что и раньше. На самом деле я не вижу числа физически, но довольно быстро вижу, что во втором больше цифр, чем в первом. Теперь рассмотрим следующее:
3567
6665734529976967438675338965633321266643790584532111111
Второй намного больше первого, теперь прочитать количество цифр невозможно с первого взгляда, но, посмотрев на него геометрически, можно судить, что второй, может быть, в десять раз длиннее .
На практике нужно учитывать, что большие числа довольно бессмысленны. В конце концов, во Вселенной всего лишь несколько десятков частиц. Это число можно записать - 1 с сотней нулей после него. На самом деле большую часть времени мы имеем дело с довольно небольшими числами — 6, 30, может быть, 500 000. Следовательно, большинству людей большую часть времени достаточно лишь довольно примитивного понимания количества: ничего, один, два, немного и много.
Картина становится более ясной, когда мы начинаем смотреть на количественные числа. Здесь нет надежды на использование физического воображения, а используется то, как они функционируют в рамках математики, то есть утверждения, которые его используют и понимаются им. В соссерианской терминологии мы понимаем его структурно . То есть элементом в целом и его отношениями. Отсюда, я полагаю, можно было бы развить структурную эпистемологию количества.
В каком смысле [уменьшается] наше эпистемическое понимание множеств? и почему? Какая особенность множеств ограничивает нашу способность их познавать?
Я думаю, что с некоторой подготовкой по математике (на уровне бакалавриата) работа с бесконечными множествами по-разному становится довольно естественной. Очевидно, что любой человеческий разум может понимать только конечные вещи, поэтому вместо того, чтобы пытаться понять бесконечную вещь, вы рассуждаете о конечном описании того, как ее построить. Затем вы используете эту конечную конструкцию, чтобы рассуждать о множестве.
Например: вместо того, чтобы пытаться удержать в голове, что такое действительные числа, вы просто рассматриваете действительные числа как дополнение к рациональным числам. Таким образом, хотя действительные числа имеют гораздо большую мощность, понять эту мощность не так уж и сложно.
Лучшим примером того, что кажется ускользающим от человеческих рассуждений о множествах, является гипотеза континуума : существует ли множество, размер которого больше размера целых чисел, но меньше размера действительных чисел.
Теперь пусть P — счетное бесконечное множество (например, N), становится труднее думать, что я могу одновременно содержать все элементы N. Кажется, что я знаю множество натуральных чисел меньше, чем одно из его подмножеств.
Но это верно для каждого объекта, физического ИЛИ абстрактного. Предположим, я держу в руке камень. У меня есть прямой физический опыт скалы... ее размера, веса, текстуры и внешнего вида.
Но у меня нет никаких знаний или опыта об атомах, кварках, глюонах, струнах и т. д., из которых состоит камень. Есть части скалы, которые физики еще даже не открыли.
Является ли это эпистемологической проблемой? Я так не думаю. Чтобы знать вещь, мне не нужно знать все ее части. Я знаю о Китае, хотя я не знаю каждого гражданина Китая по имени.
Вы правы в том, что у нас есть интуиция N. Но у нас нет прямого опыта каждого из чисел 1, 2, 3, ..., не говоря уже о каждом элементе множества неисчислимых степеней N.
Но, как я уже сказал, это ничем не отличается от всего, что я знаю. Я знаю, что завтра утром взойдет солнце; но у меня нет непосредственного опыта каждого из фотонов, которые он будет посылать в моем направлении.
пользователь4894