Если предположение, что утверждение ложно, порождает парадокс, доказывает ли это, что утверждение истинно?

Если предположение, что утверждение ложно, порождает парадокс, доказывает ли это, что утверждение истинно?

Попробую немного уточнить:

Предположим, у вас есть предложение. Кроме того, предположим, что предположение о ложности предложения приводит к парадоксу. Означает ли это, что предложение истинно? Другими словами, могу ли я заменить «противоречие» в «доказательстве от противного» на «парадокс».

Этот вопрос все еще может быть несколько двусмысленным; Я не хочу пытаться дать здесь точное определение «парадокса». Однако в качестве (несколько свободного) примера рассмотрим некоторое предложение, отрицание которого приводит, например, к парадоксу Рассела. Докажет ли это, что предложение верно?

Изменить : дайте определение парадоксу следующим образом: ситуация является парадоксом тогда и только тогда, когда она представляет собой логическое несоответствие, так или иначе «эквивалентное» тому, которое представлено в парадоксе Рассела.

Если вы не собираетесь определять или, по крайней мере, связывать то, что вы подразумеваете под парадоксом, как вы можете ожидать хороших ответов?
Если не дать определения парадоксу, невозможно дать вразумительный ответ. Вы имеете в виду парадокс как логическое противоречие, П и не-П? Или парадокс в противоречащем здравому смыслу результате, как парадокс Банаха-Тарского?
А почему отрицание реквизита? Разве вы не можете заменить -P на -(-P) и просто сказать предложение, которое приводит к парадоксу? Можете ли вы сформулировать более четкий вопрос?
@ user4894: Я согласен, что этот вопрос несколько неоднозначен. Очевидно, однако, что я имею в виду не «парадокс» как противоречащий интуиции результат — вопрос был бы бессмысленным, если бы я это сделал, — а скорее некую форму логической непоследовательности. Я называю парадокс Рассела «парадоксом», потому что логически несовместимо, чтобы объект одновременно был и не был элементом множества.
@ user9151 Парадокс Рассела показывает, что разрешение неограниченного формирования набора приводит к противоречию; поэтому мы должны отвергнуть неограниченное формирование множеств. Конечно, вы не возражаете против доказательства от противного. Я не понимаю вашей точки зрения. Или вы пытаетесь понять доказательство от противного?
Это называется доказательством от противного, и да, это широко распространенный метод доказательства.

Ответы (4)

Нет, потому что истинность утверждения также может привести к парадоксу:

A: « Это предложение ложно » .

Если вы предполагаете, что А ложно, то А истинно, и мы имеем парадокс.

Но это не доказывает, что А истинно, потому что если А истинно, то А ложно, и мы также имеем парадокс.

Классическая логика включает в себя три закона. Они есть :

  1. Закон Тождества (что есть, то есть) (другими словами, х = х)
  2. Закон непротиворечия (ничто не может одновременно быть и не быть)
  3. Закон исключенного третьего (все должно быть или не быть)

Справедливость метода доказательства, который вы наметили, следует из сочетания второго и третьего закона. Этот метод называется «Доказательство от противного» или «Метод доведения до абсурда». Этот метод является допустимым методом доказательства в любом приложении классической логики, особенно в общепринятой математике.

В контексте математического доказательства термин парадокс эквивалентен противоречию . То есть утверждение формы « П, а не П ».

Вот схема доказательства методом от противного применительно к доказательству предложения A :

  • Предположим, что не А.
  • Покажите, что это предположение приводит к противоречию, например, B, а не B .
  • Это нарушает закон 2, поэтому мы знаем, что наше предположение не А не может быть верным (поскольку обязательно приводит к противоречию).
  • Наконец, по закону 3, если не А не может быть истинным, то А должно быть истинным.

Очевидно, что валидность этого метода требует, чтобы вы признали валидность сформулированных трех законов мышления. Люди, изучающие логику, также рассматривают логические системы, в которые не включены законы 2 и 3. Некоторые могут даже отвергнуть закон 1, хотя можно только удивляться, почему.

Верно и обратное, то есть: «Если предположение, что посылка верна, приводит к парадоксу, это показывает, что посылка неверна».

Есть математические доказательства, которые работают следующим образом: Википедия называет это доказательством от противного .

Например, «Как мы можем доказать, что квадратный корень из 2 иррационален? Ну, предположим, что он рационален. Тогда (см. Доказательство теоремы Пифагора , которое показывает, что если он рационален, то парадокс существует). Поэтому (чтобы избежать парадокса ) посылка (о том, что она рациональна) не может быть истинной: следовательно, КЭД»

В логике первого порядка вы можете определить «p подразумевает q» как «q или не p», тогда «p подразумевает не p» означает «не p или не p», что означает «не p». Это сводит парадокс к противоречию.

Но это плохо согласуется с обычной интерпретацией самореферентных утверждений. Итак, существует теория рекурсивных функций, которая допускает предложения в качестве переменных. В этой форме логики p само должно принять форму функции, которая впадает в бесконечную рекурсию, если p является парадоксом.

Таким образом, вы не можете обязательно выполнять прямое доведение до абсурда, когда ваше предположение включает в себя самореференцию. В более гибкой математике критский парадокс, а также парадокс Рассела остаются скорее неопределенными, чем ложными.

Если предположение, что утверждение ложно, порождает парадокс, доказывает ли это, что утверждение истинно?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v