Можно ли интерпретировать «Если P, то Q» как «Если предположить, что P истинно, то Q истинно»? Это могло бы объяснить, почему ложное суждение подразумевает любое суждение, согласно Рэймонду Смаллиану. Если P является ложным суждением и предполагается, что P истинно (когда оно на самом деле ложно), это вводит парадокс, из которого можно вывести любое суждение.
Здесь следует различать два понятия: логическое следствие (⊢) и материальное следствие (→), каждое из которых в классической логике обладает необычным свойством взрыва , которое мы можем резюмировать как:
⊢– Взрыв. {S,¬S} ⊢ Q для любого Q.
→– Взрыв. При задании v(S) = ⊥: S → Q для любого Q.
1→–взрыв следует просто из определения → в терминах дизъюнкции и отрицания:
(φ → ψ) = df (¬φ ∨ ψ),
потому что всякий раз, когда истинностное назначение v таково, что v(φ) = ⊥, тогда следует φ ∨ ψ для любого ψ. Доказательство теоретически, всякий раз, когда ¬φ доказано, вы можете ∨-ввести ¬φ ∨ ψ, где ψ может быть любым предложением. Причина, по которой классическое следствие взрывается, немного интереснее.
2Согласно обычной тарскианской интерпретации логических следствий:
Логическое следствие. Γ ⊢ φ истинно тогда и только тогда, когда невозможно сделать все ψ ∈ Γ истинными, а φ ложными.
Всякий раз, когда у вас есть предложение S ∈ Γ, st ¬S также находится в Γ, у вас есть предложение (S ∧ ¬S) ∈ Γ. Рассмотрим произвольное предложение Q; является ли Q логическим следствием Γ при условии, что Γ содержит такую противоречивую конъюнкцию? Обратимся к определению выше:
{S, ¬S,...,S n } ⊢ Q истинно тогда и только тогда, когда невозможно сделать все S, ¬S,...,S n истинными, а Q ложным.
Поскольку S и ¬S несовместны, они оба не могут быть сделаны истинными, поэтому, что бы ни содержалось в Γ и каким бы ни было Q, отсюда следует, что {S, ¬S,...,S n } ⊢ Q. Это непосредственный побочный продукт классического определения следствия.
Конечно, существует множество невзрывных логик, таких как логика релевантности Белнапа и Андерсона, где из противоречия не может следовать произвольное Q, поскольку импликация должна удовлетворять особым требованиям «релевантности». Посмотрите последнюю статью SEP, чтобы узнать, как именно это работает. Что наиболее важно, существует множество паранепротиворечивых логик , специально созданных для обработки этого так называемого «парадокса» материальной импликации. Стоит проверить.
напыщенный