В чем разница между противоречием и парадоксом?

Парадоксы действительно являются неверными аргументами, но что делает их особенными, так это то, что они основаны на кажущихся беспроблемными предположениях. Мы знаем, например, что Ахиллес на самом деле обгонит черепаху ( парадоксы Зенона ), мы знаем, что состоится внезапный экзамен ( парадокс неожиданного экзамена ) и так далее. Поскольку мы знаем, что выводы из этих парадоксов ложны, мы знаем, что с аргументами что-то не так. Затем задача состоит в том, чтобы определить предположения, которые приводят к ложному заключению.

Парадоксы можно назвать «недействительными» и игнорировать их, но если относиться к ним серьезно, они могут помочь нам диагностировать и устранять проблемы с существующими логико-математическими структурами. Например, аксиоматическая теория множеств и теория типов во многом обязаны парадоксу Рассела . Вышеупомянутый парадокс неожиданного экзамена привел к множеству интересных разработок в эпистемической, динамической логике и логике публичных объявлений. Есть, конечно, и классические, как Сориты , Лжецы и так далее. Каждый открыл какую-то интересную дверь.

Я утверждал, что парадоксы — это неверные аргументы . Вклад Sequitur вдохновил меня добавить, что кто-то может спросить: «недействителен согласно какой логике?» Я бы назвал классическую бивалентность первого порядка, но есть возможности для значительных «сохраняющих парадокс» отклонений от этого. Здесь важно осознать следующее: вы не можете просто изменить логику и заявить, что парадокс разрешен. Предположим, что классическая логика C порождает парадокс Π, а интуиционистская логика I — нет. Вы не можете просто отказаться от классической логики, принять интуитивистскую и заявить, что справились с парадоксом. Даже после этого фактом останется то, что Π является парадоксом для C!, поэтому, если интересно, нужно выяснить, почему C допускает парадокс.

Относитесь к парадоксам серьезно, потому что они указывают на то, что (по крайней мере) что-то не так верно, как кажется.

Просто отвечу на ваш вопрос напрямую: мы могли бы трактовать парадоксы предложенным вами способом, если бы английские предикаты истины и лжи обязательно исключали друг друга; то есть, если бы противоречия не могли быть истинными.

Но так ли это — вопрос весьма спорный. Сторонники слабой паранепротиворечивости говорят «нет», потому что (i) английское отношение следствия не является взрывоопасным , т. е. противоречия не влекут за собой всего (подумайте о противоречивых фикциях или теориях, где, по-видимому, не все верно) и (ii) следствием является сохранение истины во всех моделях. (подходящей неклассической логики) и (iii) модели представляют возможности.

Более смело сторонники сильного паранепротиворечивости (он же диалетеизм ) считают, что на самом деле существуют истинные противоречия и, следовательно, возможны истинные ложности. Действительно, диалектеисты говорят, что некоторые парадоксы (например, лжец) являются вескими аргументами. Нетривиальная сильная паранепротиворечивость влечет за собой слабую паранепротиворечивость, но не наоборот.

Успех какой-либо из этих позиций зависит от многих сложных вопросов, таких как то, как лучше всего обращаться с парадоксами самореференции (сильное оправдание сильной паранепротиворечивости), и не следует ожидать быстрого разрешения спора. Таким образом, вы не имеете права рассматривать парадоксы, отрицая их обоснованность.

Противоречие есть то, что не может быть истинным, потому что оно опровергает свои предпосылки.

В самом строгом смысле парадокс — это то, что не может быть ни истинным, ни ложным, потому что опровержение посылок дает столь же ложный набор посылок.

Рассмотрим парадокс Рассела: содержит ли совокупность всех совокупностей, не содержащих самих себя, себя? На вопрос нельзя ответить «да» или «нет». Любой ответ подразумевает обратное. Если оно содержит себя, то оно не удовлетворяет критериям допущения к себе. Если он не содержит самого себя, то он удовлетворяет критериям и должен быть включен.

Если вы решите, что «парадокс Рассела недействителен», что это значит? Это может означать только то, что ответ на этот вопрос имеет некоторое истинностное значение, такое как «Нерелевантный», которое отличается как от Истинного, так и от Ложного. Это требует отбрасывания Закона Исключенного Середины — поскольку он ложится на «середину», он предназначен для «исключения».

Это указывает на то, что базовые наивные интуиции, задействованные в утверждении, ошибочны. Технически их можно обойти, но нельзя решить на самом деле. Люди по-прежнему будут иметь ту же ошибочную логическую интуицию, и парадокс будет по-прежнему убедительно доказывать сложность правильного мышления.

Вы можете составить любой специальный набор правил, какой захотите, но они никогда не будут столь убедительны, как наивная логика, даже если наивная логика приводит к множеству парадоксов.

В моем понимании парадокс — это логический аргумент, который не работает, потому что он построен на противоречивых аксиомах, например, башня, построенная на глине. Напротив, ошибка — это логический аргумент, который не работает из-за неправильной аргументации, например, башни, построенной без отвеса. Противоречие показывает, что аксиомы и заключение не могут быть верны одновременно.