Есть ли четкий и интуитивно понятный смысл собственных векторов и собственных значений матрицы плотности?

  1. Есть ли четкий и интуитивно понятный смысл собственных векторов и собственных значений матрицы плотности?

  2. Всегда ли матрица плотности имеет базис собственных векторов?  

Он эрмитов, поэтому спектральная теорема гарантирует его диагонализируемость.

Ответы (2)

В общем случае матрицу плотности данной системы всегда можно записать в виде

(1) р "=" ∑ я п я | ф я ⟩ ⟨ ф я | ,
представляющий среди прочего вероятностную смесь, в которой чистое состояние | ф я ⟩ готовится с вероятностью п я , но это разложение, вообще говоря, не единственно . Наиболее ярким примером этого является максимально смешанное состояние, скажем, на двухуровневой системе с ортонормированным базисом { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } ,
р "=" 1 2 [ | 0 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ] ,
который имеет точно такой же вид на любом ортонормированном базисе пространства.

Однако, вообще говоря, собственные значения и собственные векторы данной матрицы плотности р обеспечить набор состояний и весов, таких что р можно записать как в ( 1 ) - но с дополнительной гарантией того, что | ф я ⟩ являются ортогональными.

Это не определяет однозначно рассматриваемые состояния, потому что, если какое-либо собственное значение п я вырождена, то будет двумерное (или большее) подпространство, в котором любой ортонормированный базис одинаково действителен, но такого рода неопределенность является лишь неотъемлемой частью структуры.

Будут ли собственные значения в базе собственных векторов такими же, как вероятности, указанные в р определение?
@proton Расширение в ( 1 ) на самом деле не является определением — это просто одно из возможных математических расширений, которое, в зависимости от контекста, может иметь или не иметь физического значения. Собственные значения и собственные векторы допускают интерпретацию вероятностной смеси данных состояний с заданными вероятностями, обеспечиваемой чисто классическим ГСЧ. Однако это не единственный способ создания матриц плотности, и вы можете получить смешанные состояния, например, отследив одну половину запутанной системы, которая в остальном находится в чистом состоянии.

Оператор плотности определяется как

р "=" ∑ я "=" 1 Н п я | Икс я ⟩ ⟨ Икс я |

за набор Н состояния | Икс я ⟩ которые происходят с вероятностью п я . Эти состояния образуют ортонормированный базис для обеспечения условия нормализации Т р ( р ) "=" 1 .

Из этого определения видно, что собственные значения — это вероятности п я это реальные числа; оператор просто присваивает вероятность некоторому чистому состоянию (то есть не находящемуся в суперпозиции с другими состояниями) без изменения этого состояния. Следовательно, из линейной алгебры мы знаем, что если собственные значения действительны, то матрица плотности должна быть эрмитовой.

Другой способ увидеть эрмитичность — проверить ⟨ б | р "=" ( р | б ⟩ ) * для любого штата | б ⟩ .

Из эрмитовости следует существование собственных значений и собственных векторов (спектральная теорема).

Что, если р определяется для набора { | Икс я ⟩ } это не ортонормированная база?
Затем вы можете расширить | Икс я > как суперпозиция некоторых ортонормированных состояний | α я Дж > такой, что | Икс я >= ∑ Дж б я Дж | α я Дж > и вы также получите эрмитову матрицу (эрмитовость можно доказать, например, применяя матрицу к сопряженному состоянию и проверяя, совпадает ли она с применением матрицы к исходному состоянию), которую можно диагонализовать.
Вы пытаетесь намекнуть, что любая матрица с действительными собственными значениями является эрмитовой? Потому что это неверно.
Эти состояния образуют ортонормированный базис для обеспечения условия нормировки Tr(ρ)=1. --- Это, по меньшей мере, вводит в заблуждение. Нормализация X_i — это все, что требуется.
Как написано, ответ немного вводит в заблуждение: если | ± ⟩ к являются собственными состояниями о к например, вполне возможно иметь р "=" 1 2 | + ⟩ г + 1 2 | − ⟩ Икс . Таким образом, оператор плотности, конечно, не определяется в терминах ортонормированного базиса.
Есть ли четкий и интуитивно понятный смысл собственных векторов и собственных значений матрицы плотности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v