Как разложить матрицу плотности смешанного ансамбля на сумму чистых ансамблей [закрыто]

Действительно, как вы заметили, разложение не уникально, и нет требования, чтобы компоненты были ортогональны. Однако вы должны относиться к неединственности как к хорошему, потому что все, что вам нужно сделать, это продемонстрировать одну работающую декомпозицию, и вам не требуется характеризовать все возможные декомпозиции. Поскольку все, что вам нужно сделать, это показать один пример, вы можете наложить на свой пример любые дополнительные требования, которые вы сочтете удобными, при этом ортогональность является очевидным преимуществом.

На практике достаточно просто диагонализировать матрицу.

---

Тем не менее, диагонализация, кажется, дает вам несколько неуклюжих векторов, т.е. она говорит вам разложить как

$$\begin{align} \rho &= \frac{3+\sqrt{5}}{8} \frac{1}{1+\varphi^2} \begin{pmatrix}\varphi\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\varphi&0&1\end{pmatrix} \\ & \quad+ \frac{3-\sqrt{5}}{8} \frac{\varphi^2}{1+\varphi^2} \begin{pmatrix}-\varphi^{-1}\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\varphi^{-1}&0&1\end{pmatrix} \\ & \quad + \frac14 \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} ,\end{align}$$ где $\varphi$это золотое сечение, что довольно неудобно, особенно когда вы можете просто заметить, что $$\begin{align} \rho = \frac14 \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} +\frac14 \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix} +\frac14 \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{align}$$ и бери оттуда. Как я уже сказал, если вас просят предоставить ансамблевую декомпозицию, все, что вам нужно сделать, это предоставить ту, которая работает.