Есть ли элегантное доказательство существования майорановских спиноров?

Почти все стандартные источники о существовании майорановских спиноров (например, Приложение B.1 к «Теории струн» Полчинского , том 2) делают это таким образом, который я считаю изначально уродливым:

Априори мы имеем дело с неприводимым комплексным представлением$(V,\rho)$алгебры Клиффорда сигнатуры$(p,q)$, т.е. обобщенные дираковские спиноры. То, что майорановские спиноры существуют, абстрактно означает, что на них существует реальная форма .$V$, т.е. сопряженно-линейное отображение$\phi : V\to V$с$\phi^2 = \mathrm{id}_V$который коммутирует по крайней мере с$\mathfrak{so}(p,q)$действие.

Каждый источник, который я могу найти для майорановских спиноров, использует такие операции, как транспонирование, комплексное сопряжение и эрмитово сопряжение на$\Gamma$-матрицы для получения матриц, действующих на одном и том же пространстве . Это абстрактно неверно, транспонирование действует на двойственное, комплексное сопряжение — на сопряженное, а эрмитово сопряженное требует скалярного произведения, для выбора которого у нас нет причин. Конечно, поскольку$V$конечномерна, можно выбрать базис и определить неканонические изоморфизмы к его двойственному и сопряженному, но я нахожу это неэлегантным, особенно потому, что стандартные выводы требуют, чтобы мы делали такой выбор в отношении знаков,$\Gamma$-матрицы имеют, например,${}^\dagger$. Наконец, майорановские спиноры обычно определяются некоторым уравнением, включающим неестественное и произвольно выглядящее произведение$\Gamma$-матрицы, которые варьируются от источника к источнику в соответствии с различными соглашениями о знаках и выбором знаков, сделанным в ходе вывода.

Это неэлегантно, потому что остальная часть теории спиноров может быть развита без такого неканонического выбора. И уникальность размерности неприводимых представлений Дирака (их два в нечетных измерениях), и существование спиноров Вейля в четных измерениях могут быть выведены исключительно из абстрактных свойств алгебры Клиффорда, без выбора, без транспонирования , сопряженное или сопряженное вхождение. Вопрос (по общему признанию, слегка субъективный): существует ли способ показать, в каких измерениях существуют майорановские спиноры, не требующий ни неканонического выбора базиса, ни произвольного выбора знаков?

Некоторые частичные результаты:

• В четных измерениях представление Дирака обязательно является самосопряженным, поскольку это единственное неприводимое представление алгебры Клиффорда, поэтому все, что осталось показать, это то, что сопряженно-линейное представление$\mathfrak{so}$-эквивариантное отображение на нем квадратов к$\mathrm{id}_V$а не к$-\mathrm{id}_V$. Однако я не могу показать на нем какую-либо конкретную эквивариантную карту, которую можно было бы просто проверить на ее квадрат.

• В нечетных измерениях сначала нужно выяснить, сопряжены ли два неэквивалентных представления Дирака друг другу или самосопряжены.

В качестве дополнительной мотивации того, что требуется четкое доказательство с использованием только канонических свойств самой алгебры Клиффорда, рассмотрим запутанные и противоречивые утверждения в литературе:

• Полчински, «Теория струн» , т. 2, с.434:$\mathrm{SO}(d-1,1)$есть майораны для$d = 0,1,2,3,4 \mod 8$, что соответствует частному случаю$p-q = d-1-1 = 6,7,0,1,2 \mod 8$.

• Феко, «Дифференциальная геометрия и группы Ли для физиков» , стр. 651:$\mathrm{Cliff}(p,q)$есть майораны для$p-q = 0,2\mod 8$. Это явно противоречит заявлениям Полчински, например, о$d=3$.

• Фигероа-О'Фаррил, "Majorana spinors" , стр. 18: У нас есть майораны для$p-q = 0,6,7\mod 8$и «симплектические майораны» для$p-q = 2,3,4\mod 8$.

Обратите внимание, что эти результаты противоречат просто количеству возможных$p-q$независимо от того, правильно ли я позаботился о различных соглашениях о том,$p$или же$q$обозначает времениподобные измерения.