Есть ли «геометрическое» объяснение принципа стационарного действия?

Я не думаю, что настройка пространства конфигурации имеет какое-либо значение. В этом смысле я скажу, что нет никакой геометрической причины.

Тем не менее, ключом к стационарному действию Гамильтона является свойство, которое очень хорошо поддается визуальной/геометрической демонстрации.

Я покажу, что стационарное действие Гамильтона использует следующее свойство интегрирования: возьмем кривую и интеграл от этой кривой: когда вы удваиваете наклон кривой, значение интеграла тоже удваивается. В более общем случае скорость изменения значения интеграла равна скорости изменения наклона кривой . (Конечно, это свойство очевидно, я указываю его явно, потому что не очевидно, как оно проявляется в стационарном гамильтоновском действии.)

Промежуточным звеном между вторым законом Ньютона и стационарным действием Гамильтона является теорема о работе и энергии.

Несколько замечаний, чтобы избежать недопонимания:

• Когда сила является консервативной силой, способность совершать работу и потенциальная энергия одинаковы. С этого момента я буду ссылаться только на «кинетическую энергию» и «потенциальную энергию».

• Теория движения формулируется в терминах дифференциальных уравнений, поэтому, когда я говорю о теореме о работе-энергии, ее следует понимать как теорему о работе-энергии в дифференциальной форме.

$$\frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt}$$

Анимация ниже состоит из 7 кадров, каждый из которых отображается в течение трех секунд. 7 кадров представляют собой последовательные скриншоты интерактивной диаграммы.

Случай, представленный на диаграмме, представляет собой равномерную направленную вниз силу.

Я выбрал следующие условия:
Общая продолжительность: 2 секунды (от t=-1 до t=1)
Гравитационное ускорение: 2$m/s^2$
Масса объекта: 1 единица массы.

С$h(t)$для высоты как функции времени:

$$h(t) = -(t + 1)(t - 1) = -t^2 + 1$$

Черная линия представляет траекторию объекта.

Вариант реализован следующим образом:

$$h(t,p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1)$$

То есть пробная траектория выражается как функция двух переменных: времени и вариационного параметра$p_v$

На диаграмме значение ползунка внизу является вариационным параметром.$p_v$

В верхнем левом квадранте диаграммы черная линия представляет пробную траекторию.

В верхнем правом квадранте:
Красный график: кинетическая энергия;
зеленый график: минус потенциальная энергия.
Горизонтальная ось — «время»; графики представляют функции времени.

Для красного и зеленого графиков наклон графика представляет производную энергии по времени.

Когда наклоны красного и зеленого графиков параллельны все время, пробная траектория совпадает с истинной траекторией.

В нижнем левом квадранте:
Наклоны соответствующих графиков не меняются с одинаковой скоростью. При значениях вариационного параметра до нуля быстрее меняется зеленый график, а при значениях вариационного параметра больше нуля быстрее меняется красный график.

Диаграмма в нижнем правом квадранте выделяется. В остальных трех квадрантах горизонтальная ось представляет время. В правом нижнем квадранте горизонтальная ось представляет параметр вариации.

Позвольте мне представить компоненты действия$S_K$и$S_P$.
$S_K$для кинетической составляющей энергии действия, и$S_P$для потенциальной энергетической составляющей действия.

В правом нижнем квадранте:
красный график:$S_K$
зеленый график: минус $S_P$

В правом нижнем квадранте: когда вариационный параметр равен нулю, два графика имеют одинаковый абсолютный наклон с противоположным знаком.

Отсюда следует: когда параметр вариации равен нулю:

$$\frac{dS_k}{dp_v} - \frac{dS_p}{dp_v} = 0$$

Шаг из нижнего левого в нижний правый квадрант — это тот, который я объявил в начале: скорость изменения значения интеграла равна скорости изменения наклона кривой .

Эта демонстрация предназначена для конкретного случая; равномерное ускорение, рассуждения обобщаются на все случаи. В целом реакция кинетической и потенциальной энергии на изменение пробной траектории различна.

Реакция кинетической энергии на изменение является квадратичной. Пример: если потенциальная энергия обратно пропорциональна смещению, то именно так потенциальная энергия реагирует на изменение.

Энергетическая механика

Как было сказано в начале: теория работы-энергии в виде производных по времени выглядит следующим образом:

$$\frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt}$$

Однако эта форма непрактична; потенциальная энергия по своей природе является функцией положения, но эта форма требует производной потенциальной энергии по времени.

Нам нужно взять производную, но мы не ограничиваемся взятием производной по времени. Очевидный выбор: преобразовать уравнение в производную по положению.

$$\frac{d(E_k)}{ds} = \frac{d(-E_p)}{ds}$$

термин$\frac{d(E_k)}{ds}$легко упрощается:

$$\frac{d(\tfrac{1}{2}mv^2)}{ds} = \tfrac{1}{2}m\left( 2v\frac{dv}{ds} \right) = m\frac{ds}{dt}\frac{dv}{ds} = m\frac{dv}{dt} = ma$$

Лемма Якоба
и ее актуальность для уравнения Эйлера-Лагранса

В вариационном исчислении есть лемма, впервые сформулированная Якобом Бернулли (в более раннем ответе я предложил назвать ее «леммой Якоба»).

Когда Иоганн Бернулли представил математикам того времени проблему брахистохроны, Якоб Бернулли был среди немногих, кто решил ее. Обработка Якоба Бернулли находится в Acta Eruditorum , май 1697 г., стр. 211-217.

Джейкоб начинает свою трактовку с наблюдения о том, что искомая кривая является минимальной.

Лемма. Пусть ACEDB — искомая кривая, по которой тяжелая точка падает из A в B за кратчайшее время, а C и D — две точки на ней, сколь угодно близко расположенные друг к другу. Тогда отрезок дуги CED среди всех отрезков дуги с концами C и D является отрезком, который тяжелая точка, падающая из A, проходит за кратчайшее время. Действительно, если бы другой отрезок дуги CFD был пройден за меньшее время, то точка двигалась бы по AGFDB за меньшее время, чем по ACEDB, что противоречит нашему предположению.

Я предполагаю, что лемма Джейкоба обобщается на все вариационное исчисление.

Если кривая в целом является экстремумом, то экстремумом является и каждый ее отрезок , вплоть до бесконечно малых отрезков. Следовательно, условие для кривой, являющейся экстремумом, также может быть выражено в виде дифференциального уравнения.

Уравнение Эйлера-Лагранжа использует это свойство. Уравнение Эйлера-Лагранжа берет задачу, сформулированную в терминах вариационного исчисления, и переформулирует ее в терминах дифференциального исчисления.

Стационарное действие Гамильтона

Стационарное действие Гамильтона берет проблему механики и использует теорему о работе-энергии, чтобы переформулировать ее в терминах вариационного исчисления. Затем с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа форма задачи возвращается к дифференциальному исчислению.