Что такое непертурбативные эффекты и как с ними справляться?

1) Как известно,

$$\tag 1 \theta\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}F_{\mu \nu}F_{\alpha \beta} = \theta\partial_{\mu}K^{\mu},$$ где $K_{\mu}$так называемый класс Черна-Саймонса.

Метод диаграмм Фейнмана говорит нам, что термин$(1)$определяет диаграмму, соответствующую двухфотонной (или двух-трех-четырех неабелевых бозонов) вершине$V_{A}$(где индекс$A$обозначает все индексы), умноженное на дельта-функцию с аргументом разности входящего и исходящего импульсов, умноженное на разность входящего и исходящего импульсов:

$$V_{A} \sim \delta (\sum_{i}p_{i} - \sum_{f}p_{f})\times (\sum_{i}p_{i} - \sum_{f}p_{f})\times \text{constant tensor}$$ Это не что иное, как ноль, так что член $\int F\wedge F$не влияет на теорию возмущений.

2) Так как$\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}$является псевдотензором, а$F$есть тензор (здесь я бы учитывал только тензор силы глюона$F \equiv G_{\mu \nu}^{a}$, так как эффекты соответствующих электрослабых и электромагнитных членов могут быть поглощены киральными вращениями фермионных полей), мы имеем, что при дискретных преобразованиях Лоренца$T$(с$T_{\mu \nu}x^{\mu} = (-x_{0}, \mathbf x)_{\mu}$) и$P$(с$P_{\mu \nu}x^{\nu} = (x_{0}, -\mathbf x)_{\mu}$)

$$\hat{T}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}G^{\mu \nu}_{a}G^{\alpha \beta}_{a}\hat{T} = -\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}G_{a}^{\mu \nu}G_{a}^{\alpha \beta}, \quad \hat{P}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}G_{a}^{\mu \nu}G_{a}^{\alpha \beta}\hat{P} = -\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}G_{a}^{\mu \nu}G_{a}^{\alpha \beta}$$ то есть, $\theta \epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}G^{\mu \nu}_{a}G^{\alpha \beta}_{a}$термин является псевдоскаляром .

Так что этот термин, в частности, ломает$CP$инвариантность теории. Каковы последствия такого взлома? Если вы посмотрите на лагранжиан КХД в ограниченной фазе при нулевой температуре (которая вычисляется непертурбативно ), например, протоны$p$, нейтроны$n$и пионы$\pi$ядерное взаимодействие, этот член действует как псевдоскаляр (т.е. также$CP$-ломка)$\pi NN$связь:

$$\tag 2 L_{\pi , p, n} = \bar{\Psi}\pi^{a}t_{a}(g_{\pi NN} + \bar{g}_{\pi NN}i\gamma_{5})\Psi , \quad \Psi = \begin{pmatrix} p\\ n \end{pmatrix}$$ где $\bar{g}_{\pi NN} \sim \theta$. Вводя ядерное взаимодействие с ЭМ полем, можно вычислить диаграмму, определяющую дипольный момент нейтрона, и увидеть, что он отличен от нуля из-за псевдоскалярного $CP$-нарушающая связь (пропорциональна ей). Как понять это качественно? Это нетрудно увидеть.

Гамильтониан взаимодействия незаряженной частицы со спином$\mathbf S$и электромагнитное поле$\mathbf E, \mathbf B$является

$$\tag 3 H = -\mu \left(\mathbf B \cdot \frac{\mathbf S}{|\mathbf S|}\right) - d\left( \mathbf E \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right)$$ Так как магнитное поле $\mathbf B$является псевдовекторным, электрическое поле векторным, а спин $\mathbf S$является псевдовектором, у нас есть это под $P$трансформация $$\hat{P}\left(\mathbf B \cdot \frac{\mathbf S}{|\mathbf S|}\right)\hat{P} = \left(\mathbf B \cdot \frac{\mathbf S}{|\mathbf S|}\right),$$ $$\hat{P}\left(\mathbf E \cdot \frac{\mathbf S}{|\mathbf S|}\right)\hat{P} = -\left(\mathbf E \cdot \frac{\mathbf S}{|\mathbf S|}\right)$$ Так что наличие отличного от нуля дипольного момента в $(3)$прямо нарушает $CP$инвариантность теории, $$\hat{P}H\hat{P} \neq H$$ Формально он вычисляется так, как я описал выше: глюон $\theta$срок $(1)$генерирует псевдоскалярную ядерную связь $(2)$, в то время как эта связь создает вершину между нейтроном и электромагнитным полем, которая определяет дипольный момент.

Эффект$\theta$термин не возникает в классической физике, так как он влияет на физику только через квантовые петли.

3) При возникновении непертурбативных эффектов

Формально информация обо всех непертурбативных эффектах содержится в континуальном интеграле теории, который равен функции Грина в представлении Гейзенберга. Однако он теряется в тех случаях, когда мы пытаемся использовать полностью пертурбативный подход на всех масштабах теории.

Заметим, что есть три важных факта, связанных с расширением «маленьких» связей (КЭД, КХД и т. д.).

Первый связан с тем, что во взаимодействующих теориях связи являются бегущими, т.е. различны в разных масштабах. Например, КЭД-связь мала до очень больших энергий, но есть масштабы, где она быстро растет (около так называемого полюса Ландау), так что теория возмущений неприменима; еще один пример: связь КХД быстро растет с уменьшением масштаба до$\sim \Lambda_{QCD}$, ниже которого теория возмущений становится неприменимой.

Второй связан с изменением констант связи расширения вблизи инфракрасных зон импульса. Два примера:

1. Электрон-протонное взаимодействие. Вы знаете, что матричный элемент электрон-протонного рассеяния в импульсном представлении должен иметь полюс в точке$p_{0}^{\text{pole}} = m_{P} + m_{e} - 13.6 \text{ eV}$. Но нет члена теории возмущений, который порождает такой полюс; нужно учесть сумму всех диаграмм вблизи данного полюса. Причину такого полюса нетрудно понять, если принять во внимание диаграмму, для которой в системе КМ импульсы электрона и протона малы,$|\mathbf p| << m_{e}$, а их промежуточное состояние рассеяния характеризуется несколько разными импульсами. Можно показать, что такая диаграмма имеет эффективную константу связи$\frac{e^{2}m_{e}}{q^{2}}$, что велико для$q^{2} < e^{2}m_{e}$. Такой шкалой является шкала связанного состояния. В общем случае каждое связанное состояние невидимо с точки зрения теории возмущений, поскольку константа перенормировки$Z$для них равен нулю.

2. Фазовый переход ЭВ. Когда мы вычисляем эффективное действие теории ЭВ вблизи точки фазового перехода, мы не можем использовать пертурбативный подход, основанный на наивном разложении по$\sim \frac{m(\langle H \rangle)}{T}$, так как статистическая сумма бозонов по температуре велика при малых энергиях (в инфракрасной зоне). Мы имеем вместо наивного представления, что эффективная константа связи равна$\sim \frac{T}{m(\langle H \rangle )}$.

Третий возникает, когда мы пытаемся просуммировать все диаграммы теории возмущений. Поскольку ряд теории возмущений (по константе связи) имеет нулевой радиус сходимости (члены разложения растут с ростом$n!$), нам нужно использовать некоторые методы, такие как пересуммирование Бореля, чтобы восстановить полный результат. Однако в таких случаях он неприменим. Первый важный случай — это классические решения уравнений движения теории, называемые инстантонами. Они являются стационарными точками величины$\int D\varphi \oint dg g^{-n-1}e^{-S[g, \varphi]}$, где$n$является целой величиной. Соответствующий борелевский ряд обычно имеет отрицательный полюс (как и в КХД). Второй случай — инфракрасный ренормалон, возникающий при операторном разложении, например, всех диаграмм, содержащих два 4-тока в КХД. Соответствующий набор диаграмм порождает положительный полюс, что делает использование теории возмущений совершенно неприменимым.

Как рассчитать непертурбативные эффекты

Таким образом, из-за существования многих случаев, когда теория возмущений терпит неудачу, также существует множество подходов к вычислению соответствующих непертурбативных результатов.

1. Если вы хотите вычислить полюса, связанные со связанными состояниями, вы должны решить EOM для одночастичного состояния, которое является одной из составляющих частиц, в котором эффекты других составляющих (т. е. их операторы в EOM) заменены на внешний потенциал (например, для электрон-протонной задачи протонным эффектом является кулоновский центральный потенциал). Тогда для такого диапазона энергий можно ввести элементарное поле атома водорода в лагранжиан преобразованием Хаббарда-Стратоновича континуального интеграла (пример приведен в КТП Вайнберга, том 1, параграф 14).

2. Также известен точно решаемый случай спонтанного нарушения симметрии (в результате которого$p^{2} = 0$возникают полюса), для чего нужно сделать следующее:

3. определить неразрывную группу;
4. извлекать голдстоуновские степени свободы (количество которых совпадает с числом сломанных образующих группы симметрии) путем их параметризации координат элементов сломанной группы;
5. затем явными вычислениями построить из этих элементов инвариантные формы, определяющие лагранжиан эффективных степеней свободы после нарушения симметрии.

Полученная теория содержит элементарные поля, соответствующие связанным состояниям подчеркнутой теории.

3. Если вы хотите рассчитать эффекты решений классической EOM в квантовой теории (вы должны принять во внимание эти решения, потому что принцип кластерной декомпозиции S-матрицы терпит неудачу, когда вы этого не сделали, что хорошо объяснено в КТП Вайнберга, том 2) нужно найти группу гомогопий группы симметрии данной теории, затем найти нетивиальные представления гомотопических классов таких групп (т. е. решения$\varphi_{\text{classical}}$ЭОМ, которые соответствуют разным значениям инварианта Маурера-Картана), затем найти число коллективных степеней свободы решения и, наконец, имея такие результаты, вычислить коэффициент-фактор вблизи$e^{-S[\varphi_{\text{classical}}]}$в интеграле по траекториям (пример приведен в КТП Вайнберга, том 2, параграф 23.5).

Скорее тавтологически, невозмущающий эффект — это эффект, невидимый для теории возмущений. Эффект невидим для теории возмущений именно в том случае, если он находится в неаналитической части статистической суммы относительно константы связи$g$.

Заметим, что теория возмущений, по существу, представляет собой разложение Тейлора статистической суммы$Z$(точнее, ее подынтегральная функция) как функция константы связи$g$вокруг точки исчезающей связи$g=0$, т.е.

$$Z = \sum_n Z_n g^n$$ и $Z_n$представляют собой «возмущающие вклады порядка $n$". За этим схематическим рассуждением я не буду следить, $Z$является фактической статистической суммой или подынтегральным выражением. Теперь, когда у вас есть непертурбативные эффекты, такие как инстантоны, существует непертурбативная сумма по различным инстантонам, например $$Z = \sum_k f(k) Z(k)$$ (для эвристического вывода см. раздел 1.2. в этом моем ответе ) с $f(0) = 1$для $k=0$, то есть «нет непертурбативного явления». В частности, оказывается, что $f(k)\propto \mathrm{e}^{-1/g}$в терминах его зависимости от константы связи в теории Минковского. Но $\mathrm{e}^{-1/g}$не является аналитическим в $g=0$, его ряд Тейлора тождественно равен нулю. Итак, когда вы занимаетесь теорией возмущений, вы получаете следующее: $$Z = \sum_k f(k) Z(k) = Z(0) + \sum_{k\neq 0}\mathrm{e}^{-1/g}Z(k)$$ а второе слагаемое просто исчезает, когда вы пытаетесь расширить его, поэтому все, что вам остается, это пертурбативное $Z(0)$.

Что касается значимости таких непертурбативных эффектов, то инстантоны описывают, например, распад вакуума , а также появляются как член киральной аномалии .