Есть ли причина, по которой в квантовой оптике операторы часто записывают в виде экспонент?

Я не знаком с квантовой оптикой, но с более общей математической точки зрения я бы предложил следующее: если экспоненциальное выражение более компактно, чем другие альтернативы, то, руководствуясь экономией обозначений, возможно, более естественным будет вопрос: «когда можем ли мы обойтись без экспоненциальной формы?» Это аналогично предпочитанию писать$\sin\theta$и использование его алгебраических свойств, чтобы избежать разложения его в степенной ряд для выполнения вычислений.

Есть много фактов об операторных экспонентах, по модулю некоторых математических тонкостей, которые физики склонны игнорировать, которые делают это возможным во многих контекстах:

1. Позволять$O$— линейный оператор, и пусть$|\lambda\rangle$быть собственным вектором$O$соответствующий собственному значению$\lambda$, затем$|\lambda\rangle$является собственным вектором$e^O$с соответствующим собственным значением$e^\lambda$:

   $$\begin{align} e^{O}|\lambda\rangle &= \sum_{k=0}^\infty \frac{O^k}{k!}|\lambda\rangle = \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}|\lambda\rangle = e^\lambda|\lambda\rangle \end{align}$$

   На самом деле, в более общем смысле, при гипотезах наблюдения, если$f$любая аналитическая функция, то$|\lambda\rangle$будет собственным вектором$f(O)$с собственным значением$f(\lambda)$.

2. Основные алгебраические свойства операторной экспоненты:

3. Формула БЧХ и ее родственники , особенно эта лемма о сопряженных.

Если два оператора равны,$A=B$, то нет ничего плохого в использовании любой формы для одного и того же объекта. Имея это в виду, выбор формы подчиняется широкому кругу причин в зависимости от контекста и того, что вы хотите выразить, хотя, вообще говоря, существует большая премия за компактность обозначений и концептуальную ясность.

Итак, в том же ключе, вот несколько важных моментов, которые следует учитывать:

• Почти во всех случаях экспоненциальная форма более компактна и использует меньше чернил. Это само по себе уже ставит его на шаг впереди любой альтернативной формулировки.
• Экспоненты антиэрмитовых операторов сразу распознаются как унитарные. Это определенно играет роль в упомянутом вами примере: форма$\hat U=\exp(i\alpha \hat P)$очевидно, унитарна, где, с другой стороны,$\hat U = 1+\hat P(e^{i\alpha}-1)$можно увидеть единым с помощью простого, но неочевидного расчета (т.е. вы не можете сделать это в своей голове, не потеряв полностью нить того, о чем говорилось в статье).

• Воображаемые экспоненты обеспечивают большую концептуальную ясность, поскольку они сразу распознаются как операторы вращения. Например, если$\hat \sigma$является инволюцией (т.е.$\hat \sigma^2=1$, включая все матрицы Паули), то

  $$e^{i\theta \hat \sigma} = \cos(\theta) + i \hat\sigma\sin(\theta),$$ но первый совершает вращение (скажем, на сфере Блоха, вокруг собственной оси$\hat \sigma$) очевидно, в то время как последнее гораздо более неясно.

  В этом отношении операторные экспоненты действуют скорее как специальные функции, которые, как примечательно выразился Майкл Берри , «закрепляют наборы узнаваемых и передаваемых шаблонов и, таким образом, составляют общую валюту». Выражая оператор в виде экспоненты, вы не просто указываете, о каком операторе идет речь; вы также делаете значимое заявление о том, как вы думаете об этом операторе.

• Разорванные формы не обязательно легче вычислить и концептуализировать, и часто с ними будет сложнее (или с ними труднее работать в концептуальной структуре, с которой оперирует текст). Это особенно актуально, если вы уже работаете на основе оператора$\hat A$возводится в степень: если вы уже работаете на основе собственных состояний$\hat A|a\rangle = a|a\rangle$, то экспонента

  $$e^{i\theta \hat A}|a\rangle = e^{i\theta a}|a\rangle$$ это просто число, зависящее от базисного вектора$e^{i\theta a}$.

  Это играет роль в унитарном устройстве с управляемым переворотом фазы.

  $$U_\mathrm{CPF} = e^{i\pi |0⟩⟨0| \otimes |h⟩⟨h|}$$ в приведенном вами примере: это легко анализируется как$1$если управляющий кубит включен$|1⟩$, а как оператор$e^{i\pi|h⟩⟨h|}$если управляющий кубит включен$|1⟩$; более того, это также непосредственно рассматривается как фальсификация$-1=e^{i\pi}$для целевого кубита в состоянии$|h⟩$и как единица на его ортогональном дополнении$|\bar h⟩$.