Связь между представлениями бозонных операторов?

Ваше нестандартное представление не дает хорошей канонической теории.

Самый очевидный и прямой способ противостоять этому, за исключением теоретических замечаний, основанных на отсутствии строгих гипотез, достаточных для применения какой-либо теоремы (Стоун фон Нейман, Нельсон, ФС^3, Диксмьер...), состоит в следующем.

Чтобы построить представление вашей бозонной теории (а), вы должны построить ортонормированный набор состояний чисел заполнения $\{|n\rangle\}_{n=0,1,2,\ldots}$и (б) вы должны доказать, что это множество полное (т.е. максимальное)($^*$).

По определению, где$C_n \neq 0$- нормировочный коэффициент:

$$|n\rangle := C_n(b^\dagger)^n|0\rangle \qquad (1)$$ с: $$b|0\rangle =0\quad\mbox{and}\quad \langle 0|0\rangle =1\:.\qquad (2)$$ Первое уравнение в (2), делающее явным вид оператора $b$в гильбертовом пространстве теории, $L^2(\mathbb R)$, и записывая уравнение, используя волновую функцию $\psi_0$из $|0\rangle$в представлении положения, гласит: $$\sqrt{x}\psi_0(x+1)=0 \quad \mbox{(almost everywhere)}\:,\qquad (3)$$ где я использовал тот факт, что $\{e^{-i\lambda P}\}_{\lambda \in \mathbb R}$является унитарным представлением группы $x$-переводы.

Единственный$L^2$решение (3) тривиально:

$$\psi_0(x) = 0 \quad \mbox{almost everywhere.}$$ Следовательно, последнее условие в (2) несостоятельно и вся конструкция здесь обрывается.

---

сноски

$(^*)$С технической точки зрения, эти векторы, следовательно, являются аналитическими векторами для всех вовлеченных операторов, и это является гарантией справедливости нескольких важных свойств, таких как по существу самосопряженность новых канонических переменных.

Существует только одно унитарное представление для алгебры бозонных операторов. Учитывая набор операторов создания и уничтожения,

$$[b,b^\dagger] = 1,$$

вы можете определить набор канонических операторов положения и импульса,

$$[Q,P] = iC,\quad [C,P] = [C,Q] = 0.$$

которая известна как алгебра Гейзенберга.$C$является центром этой алгебры. Существует только одно унитарное представление для алгебры Гейзенберга (теорема Стоуна-фон Неймана).

Что же касается "нового представительства", о котором вы упомянули, то эти ($P'$и$Q'$) - это просто переменные действия-угла.$Q'$в «новом представлении» — амплитуда колебаний, тогда как$P'$примерно равен фазовому углу. Точнее (установить$\alpha=1$),

$$Q = \sqrt{2Q'}\cos(P');\quad P = \sqrt{2Q'}\sin(P').$$

$P'$и$Q'$являются «новыми» переменными. Они также образуют каноническую сопряженную пару. Вы можете проверить это как для классических, так и для квантовых осцилляторов.

Да, ваши b- возбуждения известны: это подправленные когерентные состояния , основанные на операторе смещения оптического фазового пространства.

Для простоты возьмем α = 2, так что

$$Q=\frac{a+a^\dagger}{2}, \qquad iP=a-a^\dagger,$$ и поэтому $$b=\sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} e^{a- a^\dagger}= \sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} D^\dagger(1),\\ b^\dagger= e^{a^\dagger -a} \sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} =D(1)\sqrt{\frac{a+a^\dagger}{2}} ~,$$ где оператор смещения определяется как $D(1)= e^{a^\dagger -a}$.

Тогда, видимо,

$$[b,b^\dagger]=\frac{a+a^\dagger}{2} - D(1)\frac{a+a^\dagger}{2}D^\dagger(1)=1 ~.$$ Действуя на вакуум Фока, аннулируемый a , отличным от указанного выше ! , операторы смещения определяют когерентное состояние $D(\alpha=1)|0\rangle=|\alpha=1\rangle$, собственное состояние оператора уничтожения, но я не уверен в дрейфе остальной части вашего вопроса.

Небольшие модификации этих отображений популярны в алгебрах деформированных осцилляторов , раздел 4.g).