Несложная волновая функция

Вы смотрите на решение независимого от времени уравнения Шредингера в качестве$\psi(x)$не имеет зависимости от времени, и основные решения уравнения, не зависящего от времени, часто могут быть действительными. Линейные комбинации этих базовых решений могут быть сложными.

Решения зависящего от времени уравнения Шрёдингера всегда представляют собой линейные комбинации вида

$$\Psi(x,t)=\sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar} \psi_n(x)$$ и будет сложной, даже если не зависящие от времени функции $\psi_n(x)$реальны.

Чтобы связать$a$к соотношению неопределенностей, которое вам нужно будет вычислить$\Delta x^2$и$\Delta p^2$используя ваш$\psi(x)$(которую вам придется нормализовать) и найти, как$a$входит в продукт$\Delta x\Delta p$.

Чтобы дать вам подсказку, я включаю сюжет$\psi(x)^2$для$a=1$(черный),$a=2$(синий) и$a=1/2$(красный).

Вы правы, «настоящая» волновая функция частицы — сложная функция.$\Psi(\vec{x}, t)$, которое следует зависящему от времени уравнению Шрёдингера:

$$i\hbar\frac{\partial\Psi(\vec{x}, t)}{\partial t} = \hat{H}\Psi(\vec{x}, t)$$ Где $\hat{H}$- гамильтоновский оператор, который дает полную энергию системы, состоящую из кинетической энергии и потенциальной энергии, которая определяется функцией потенциальной энергии $V(\vec{x}, t)$: $$\hat{H}\Psi(\vec{x}, t) := -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\vec{x}, t) + V(\vec{x}, t)\Psi(\vec{x}, t)$$ Если функция потенциальной энергии действительно является функцией времени, а также положения, это уравнение становится очень трудным для решения. Однако, к счастью, потенциальная энергия почти всегда зависит только от положения и поэтому становится более простой функцией. $V(\vec{x})$. В этом случае уравнение Шредингера можно решить, предполагая волновую функцию $\Psi(\vec{x}, t)$быть простым произведением функции $\psi(\vec{x})$зависит исключительно от положения и функции $f(t)$это зависит только от времени: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})f(t)$$ Затем мы можем разделить части уравнения, зависящие от положения и времени, и найти из этого, что $f(t)$должно быть равно $e^{-iEt/\hbar}$, где $E$— некоторая реальная константа (можно доказать, что это энергия частицы). Более того, $\psi(\vec{x})$должно следовать так называемому нестационарному уравнению Шрёдингера: $$E\psi(\vec{x}) = \hat{H}\psi(\vec{x})$$ где $E$такая же постоянная. Можно доказать, что $\psi(\vec{x})$всегда можно считать вещественной функцией (то есть, если у вас есть решение не зависящего от времени уравнения Шредингера, которое не всегда является реальным, вы всегда можете выразить его как линейную комбинацию тех, которые являются действительными. Это не означает, что что каждое решение обязательно должно быть реальным.). Тогда у нас есть: $$\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x})e^{-iEt/\hbar}$$ Помните, что это только при условии, что $\Psi(\vec{x}, t)$МОЖЕТ быть написано как такой продукт. Однако все остальные решения могут быть выражены в виде линейных комбинаций этих простых, не зависящих от времени решений, как уже указывал Зеро.

Ваш вопрос предполагает независимую от времени волновую функцию, равную

$$\psi(x) = Ae^{-\alpha x^2}$$ (Это одномерная функция, поэтому я не указываю стрелку.) Следовательно, известная вам волновая функция, зависящая от времени, будет $$\Psi(x, t) = Ae^{-\alpha x^2}e^{-iEt/\hbar}$$ Найти $E$, можно применить уравнение Шредингера: $$EAe^{-\alpha x^2} = \hat{H}(Ae^{-\alpha x^2})$$ (Однако вам нужно знать функцию потенциальной энергии, которую вы использовали для получения этой волновой функции)