Есть ли способ измерить консонанс или диссонанс аккорда?

Да, есть способы его измерить, хотя есть много разных алгоритмов, претендующих на точность. Эта формула Василакиса появилась недавно (2007 г.).

Они измеряют « шероховатость », похожую на диссонанс. (Диссонанс — это в основном шероховатость, но взвешенная по отношению к определенным интервалам из-за культурной обусловленности, которую, очевидно, трудно измерить количественно.) Для двух синусоидальных тонов разница между шероховатостью и частотой выглядит следующим образом:

(Источник: Уильям А. Сетарес )

Для более сложных сигналов, состоящих из нескольких тонов:

Неровность сигналов, соответствующих спектрам с более чем двумя синусоидальными компонентами, вычисляется путем суммирования шероховатостей всех пар синусов в спектре.

Для тонов с гармоническими спектрами суммарный эффект шероховатости между всеми присутствующими гармониками создает графики с зазубринами созвучия в интервалах, с которыми мы знакомы, например, 3:2 квинты:

Черная кривая взята из более старой статьи Plomp-Levelt 1965 года с таким описанием:

Мы предполагаем, что общий диссонанс такого интервала равен сумме диссонансов каждой пары соседних парциальных частей ... эти предположения довольно умозрительны ... Таким образом, кривые ... были вычислены для сложных тонов, состоящих из из 6 гармоник. ... показывает, как консонантность некоторых интервалов, заданных простыми частотными отношениями, зависит от частоты.

(Таким образом, кривая Пломпа-Левельта основана на суммировании шероховатостей соседних частей, в то время как Василакис суммирует « все пары синусоид». каждая пара больше подходит.))

Дальнейшие описания этой кривой можно найти в книгах Марка Лемана - Основы музыковедения как науки об обработке контента (где также говорится о получении гамм слендро и пелога из того же алгоритма, применяемого к негармоническим гонг-инструментам) и скрытого соотношения Пломпа и Левельта.

Синяя кривая взята из Sethares Relating Tuning and Timbre , в которой используется этот расчет MATLAB , также основанный на кривых Пломпа-Левельта. (А вот мой перевод на Python .) Вот приложение на основе MATLAB, которое использует модель Вассилакиса 2007 года, чтобы также рассчитать ту же кривую для 6 гармоник (и имеет M3 как более согласную, чем m3).

Вы можете видеть, что две кривые расходятся в зависимости от того, является ли более согласным m3 или M3. Я не уверен, связано ли это с вычислением только соседних парциальных частей по сравнению со всеми частичными, или если частичные имеют разные амплитуды или что-то еще. Конечно, реальные инструменты производят множество вариаций в своих гармонических спектрах, даже играя одну и ту же ноту на одном и том же инструменте, поэтому все эти кривые по своей сути являются приблизительными. Вот график, который я сделал для скрипки и кларнета , показывающий, что M3 более согласна, когда скрипка играет более высокую ноту, из-за того, что кларнеты производят в основном нечетные гармоники.

Кроме того, для более чем 2 тонов алгоритм Sethares оценивает минорные и мажорные аккорды как одинаково согласные , что не является обычной интерпретацией. Таким образом , Эрлих и Монцо интерпретируют число Сетареса только как меру «шероховатости» и требуют, чтобы «диссонанс» включал как «шероховатость», так и «тональность» , где мажорные аккорды более согласны, потому что они ближе к корню гармонического ряда ( 4:5:6), а минорные аккорды дальше (10:12:15). Однако я не знаю способа количественно определить это для произвольных частот.

Да. Это связано с соотношением их частот. По сути, чем меньше число участников, тем лучше.

Идеальный унисон с соотношением 1:1 (например, до, сыгранное с одним и тем же до), имеет идеальное созвучие. Соотношение C к следующей G составляет 2:3; совершенная квинта является следующей наиболее согласной. Малая секунда (например, от C до C#) является наиболее диссонирующей в западных гаммах с соотношением частот 15:16.

Это показывает, как часто звуковые волны «совпадают». Каждый третий цикл C совпадает с каждым вторым циклом G, и наоборот; т. е. пики волн возникают в одно и то же время через каждые два цикла (или три цикла, в зависимости от того, какую ноту вы выберете в качестве основы). Это часто! Таким образом, ваше ухо воспринимает звуки как синхронизированные и мелодичные. Напротив, волны, которые совпадают нечасто, например, второстепенная секунда, совпадающая только с 15-м (16-м) циклом, в значительной степени не синхронизированы и, следовательно, диссонируют.

Ум странен, и то, что один воспринимает как диссонанс, не обязательно является тем, что другой воспримет как диссонанс. Тем не менее, самое близкое, что вы получите к абсолютной объективной мере, — это логарифм по основанию 2 наименьшего общего кратного сторон отношения. Например:

    lg(LCM(15, 16)) = lg(240) ~= 7,9

Это примерно в 3 раза больше, чем

    lg(НОКМ(2, 3)) = lg(6) ~= 2,6

Аккуратно,

    lg(НОКМ(1, 1)) = lg(1) = 0

так что это также отражает тот факт, что идеальный унисон не имеет диссонанса. Интересно, что Эйлер, по-видимому, считал, что LCM также подходит для этого ¹ .

(Обратите внимание, что LCM(x, y) = x*yдля полностью уменьшенных соотношений, например, 2:3, а не 4:6.)

[1]: Кноблох, Эберхард (2008). Эйлер, преодолевая пределы: бесконечность и теория музыки. Quaderns d'Història de l'Enginyeria, IX , 9-24. Доступно в Интернете: http://upcommons.upc.edu/revistes/bitstream/2099/8052/1/article2.pdf

Да, есть способ. Есть блестящее исследование Нормана Д. Кука, специально посвященное акустическим свойствам трезвучий. Что он делает, так это суммирует различные части любых трех тонов и отображает их в трехмерном пространстве. Чтобы уместить трезвучия в двухмерном пространстве, он вычисляет интервальную разницу между первой и второй нотой и помещает ее на одну ось, а разницу между второй и третьей нотами — на ось Y. Затем он выполняет математические расчеты для различных свойств, таких как созвучие, напряжение, модальность и нестабильность. Он помещает это в то, что он называет триадной сеткой, где М означает мажорное трезвучие, м — минор, с — сус, а — увеличенное. Эта теория моделирует то, как мы воспринимаем эти аккорды в том порядке, в котором мы знаем, что они согласны, но до сих пор мы не могли объяснить это математически.Вот одна из статей Кука на эту тему .

Статья достаточно плотная, и если вы не разбираетесь в математике и теории музыки, я бы посоветовал посмотреть это видео, в котором он обсуждает свою теорию. Я думаю, что это революционно, потому что этот ответ, я думаю, до сих пор ускользал от всех. Кажется, что это должно быть основано на том, как отношения действуют чисто математически, но на самом деле это сложнее, поэтому он называет это психофизической моделью восприятия гармонии. https://www.youtube.com/watch?v=CrmnaiyS5EE[![N . Видео Д. Кукса о его музыкальной модели диссонанса для трезвучий] 2 ] 2

Есть короткий ответ и более длинный и сложный ответ; Я просто дам краткий ответ здесь вместе с самыми простыми основами длинного ответа.

Короткий ответ: Да, вроде как есть. Если вы возьмете отношение частот двух тонов, вы получите некоторую дробь в самых низких показателях. Чем меньше число в этой дроби, тем согласнее интервал. Например, два звука в унисон имеют соотношение 1:1. Октава имеет отношение 2:1. Совершенная квинта (например, C к G) имеет соотношение 3:2 и т. д. Мэтью хорошо объясняет в своем ответе , почему соотношения с меньшими числами звучат более созвучно, чем соотношения с большими числами.

Но все это усложняется темпераментом, то есть тем, как высота звука настраивается по отношению друг к другу. Видите ли, предположим, вы настраиваете свою ля на 440 Гц, а затем начинаете настраивать другие ноты относительно этой ля, используя в качестве ориентира соотношения целых чисел. Например, вы настроите E на частоте 660 Гц. Для первых нескольких нот все будет звучать великолепно, но вскоре вы начнете слышать какие-то странные интервалы. Некоторые интервалы имеют хорошее соотношение целых чисел, но другие, которые, по вашему мнению, должны звучать хорошо, например, мажорная терция от Eb до G, звучат очень плохо. Короче говоря, оказалось невозможным настроить все двенадцать хроматических нот, используя целочисленные соотношения частот, и все получилось правильно. Математически это просто невозможно.

Так что где-то приходится идти на компромиссы. Есть много разных способов добиться такого компромисса, и я не буду подробно описывать их здесь. Но за последние двести пятьдесят лет или около того мы остановились на системе настройки, известной как Equal Temperament . В этой системе вы начинаете с эталонной высоты тона (например, A440), а затем частота каждой второй ноты составляет 2 ^n/12 , где n — количество полутонов выше эталонной высоты.

В этой системе ни один из интервалов не будет иметь целочисленных отношений. Но все интервалы постоянны (некоторые сказали бы, что они постоянно несовершенны), и это позволяет вам играть в любой тональности. Это эффективный компромисс, но вы теряете чистоту истинных интервалов отношения целых чисел. Таким образом, краткий ответ, который я дал выше, оказывается правильным только в некотором роде, потому что интервалы согласных будут иметь отношения, которые почти , но на самом деле не являются хорошими небольшими целочисленными отношениями.

Использование эмпирической формулы A + B, деленной на AB, где A и B представляют собой соотношение частот двух нот этого интервала, по-видимому, дает абсолютную меру величины степени консонанса следующим образом.

Соотношение частот унисона 1: 1 дает значение 2.

Соотношение октавных частот 2: 1 дает значение 1,5.

Идеальное соотношение 5-й частоты 3: 2 дает значение 0,833.

Идеальное соотношение 4-й частоты 4:3 дает значение 0,583.

Соотношение основных шестых частот 5: 3 дает значение 0,533.

Соотношение основной третьей частоты 5: 4 дает значение 0,45.

Незначительное отношение третьей частоты 5: 6 дает значение 0,366.

Соотношение минорной шестой частоты 5:8 дает значение 0,325.

Соотношение основных 2-х частот 8: 9 дает значение 0,236.

Отношение основной 7-й частоты 8:15 дает значение 0,192.

Незначительное отношение 7-й частоты 9:16 дает значение 0,174.

Незначительное отношение второй частоты 15:16 дает значение 0,129.

Хотя используемая формула является эмпирической, результаты удивительно точно соответствуют принятому порядку степени согласованности гармонических интервалов в пределах октавы.

всего пара дополнительных комментариев:

1. Чтобы вычислить меру диссонанса, нужно учесть гармоники, т.е. вычислить все попарные вклады в меру и просуммировать их (это не слишком сложно).
2. Для аккордов более чем в два тона вы просто суммируете все попарные вклады в такт, основные и гармоники.
3. Диссонанс уменьшается с расстоянием: октавный эквивалент в этом отношении не работает. Малая секунда более диссонансна, чем малая девятка, которая, в свою очередь, более диссонирует, чем минорная 17.

Отнеситесь ко всей теории с недоверием. Вы можете любить острый перец или ненавидеть острый перец.

Вы можете подумать, что мажорный септаккорд (например, CEGB), который завершает многие джазовые композиции и "La Création du Monde" Дариуса Мийо, является самым красивым созвучием, которое только можно себе представить, гораздо более интересным, чем простое трезвучие. Или вы можете подумать, что это самый ужасный диссонанс.

Созвучие и диссонанс можно определить объективно, как вы видите в других ответах, но большинство людей считают их субъективными терминами. Как таковые, они зависят от ушей, вкуса и истории слушателя.

Проблема с формулой гармонического расстояния Тенни и другими формулами заключается в том, что для более высоких простых и составных чисел в отношениях, которые звучат близко к простым отношениям, они будут измеряться как имеющие большее HD, например, 3001/2000 звучит невероятно близко к идеальной квинте, но имеет очень большой HD даже при том, что это было бы согласно. Вот статья о гармонии, где формула работает во многих ситуациях, но, вероятно, имеет ту же проблему: https://www.mat.ucsb.edu/Publications/Quantification_of_Harmony_and_Metre.pdf

Вы написали "Аккорд", но сказали только о двух сочетаниях нот, а ответ уже отмечен. Также не забывайте, что мы говорим здесь о музыке. Измеряется не физический тон, а восприятие слушателя.

Тем не менее я хотел ответить, что для «настоящих» аккордов с тремя и более членами простая математика больше не применима. Психологическая составляющая становится более важной. Расширенный аккорд (ceg#) является (несовершенным) созвучием для всех комбинаций, но воспринимается как один из самых диссонирующих аккордов.

Также для комбинаций из двух нот важно, в какой октаве вы их играете. Диссонансные интервалы менее диссонансны, если вы играете их на расстоянии одной октавы, в то время как консонантные интервалы менее согласны, когда играются отдельно друг от друга, что является психологическим эффектом.

Есть и другие параметры, кроме высоты тона, которые могут иметь значение. Даже с интервалами настройки в нижней части нашего слухового спектра звучание далеко не так «хорошо», как в среднем диапазоне. Наше ухо нелинейно, оно предпочитает полосы в звуковом спектре, где находится разговорный язык.

Я бы ответил на это с точки зрения чистой теории музыки, а не с точки зрения обработки сигналов, EE или аудиотехники. Проблема, когда вы идете по этому пути (IMO), заключается в том, что вы сталкиваетесь со всевозможными сигналами, которые можно наблюдать на осциллографе или запускать через БПФ, которые вообще не музыкальны, это может быть звук металла. металлический визг вагона на рельсах. В музыкальном плане все виды полутонов, которых нет ни в диатонической, ни в хроматической гамме.

С точки зрения музыкальной теории диссонанс измеряется количеством ИЗМЕНЕННЫХ нот в аккорде. Измененные ноты — это просто b5, #5, b9 и #9. В до мажоре это Gb, G#, Db и D# соответственно. Обратите внимание, что все они на 1/2 шага выше и ниже 5 и тоники (основы) аккорда. Корень и 5 — самые согласные по звучанию ноты, поэтому, играя ноты всего на 1/2 шага, мы получаем диссонансный звук.

Подойдите к фортепиано или гитаре и сыграйте аккорд, используя только эти ноты: G, C#, G#, C, 5, b9, #5 и основной тон в восходящей тональности. Это настолько диссонансно, насколько вы захотите услышать.

Может быть актуально спустя девять лет :-) Как сортировать по сходству высоты тона?

Описанный выше метод основан на предположении, что две высоты тона с отношением $a/b$ звучат согласно, если $a,b$ — малые числа.

Я использовал функцию $k(a,b) = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab}$ для измерения простоты отношения и, следовательно, предполагаемого созвучия. Если функция принимает значение, близкое к единице, то две высоты звука звучат согласно (опять же, вы должны субъективно взвешивать громкость и продолжительность), в противном случае, если она принимает значение, близкое к нулю, они звучат диссонансно.

Поскольку вы хотите использовать компьютер, эта ссылка на набор данных заметок в векторном формате также может быть полезна:

https://www.kaggle.com/musescore1983/measuring-note-consonance-with-psd-kernel

Да, есть новый метод, который я разработал:

Он основан на индексе диссонанса, основанном на уравнении модулятора-несущей, а также на количестве пиков и вариациях амплитуды аккордовой звуковой волны (включая эффект модуляции).

Увеличение количества амплитудных пиков и их вариаций вызывает большее напряжение и неприятное ощущение для ушей. Метод включает в себя некоторые соображения по временному разрешению и функции временной модуляции.

На основе этой новой концепции была построена новая музыкальная гамма со всеми лучшими консонантными двухнотными аккордами, извлеченными из последовательностей Броко, и она может быть расширена на любое количество нот, поэтому таблица со всеми наиболее консонантными аккордами (до 6 нот) для этой гаммы. Следует отметить, что его можно распространить на любое количество нот.

Эта новая шкала основана не на древнем мифе об октаве, а просто на научных основаниях.

Очень краткое пояснение: Необходимо искать другой способ определения и измерения консонанса, и сверху консонанс, который должен быть первоосновой музыки, никогда не должен превалировать ни геометрическое соотношение как порождающий принцип, ни древний «октавный миф». в качестве господствующего принципа деления всего царства звуков и установления законов об их равенстве, ни понятия бемолей и диезов вследствие несоответствий в построении звукорядов, ни равенства промежутков между соотношениями для выполнения Требования к музыкальным инструментам.

Все мы слышали множество композиций, которые нам очень понравились, но мы также слышали и классические произведения с большим количеством диссонирующих и неприятных аккордов, и не именно потому, что они были преднамеренно построены или исполнены для передачи какого-то эмоционального состояния в композиции, а просто потому, что это очень диссонирующие аккорды, обитающие в этих гаммах, и другие музыканты предпочитают не использовать их в своих музыкальных произведениях.

Эта работа направлена ​​на поиск научного способа создания индекса для измерения диссонанса. Таким образом, мы сначала будем работать с геометрией ввода двух звуков, а позже мы прокомментируем, как распространить этот анализ на любое количество звуков.

Следующее изображение очень важно по нескольким причинам:

здесь вы можете увидеть различные типы волн, соответствующие отношениям 7/1, 3/1, я имею в виду сверху вниз, 7/1, 3/1, 5/2, 2/1, что является октавой, 4/3 и 9/8.

Какой из них, по вашему мнению, имеет наиболее однородный внешний вид? Соотношение 3/1 выглядит более однородным, так как его амплитудные пики все одинаковые, отсутствует деформация или волновая модуляция, а распределение пиков полностью однородно.

Если мы пойдем от 9/8 вверх, мы увидим, что 9/8 — это модулированная волна, и это происходит, когда частоты очень близки друг к другу. Эффект модуляции уменьшается по мере подъема к октаве, и в этот момент модуляция еще не исчезла, значит, отношение 2/1 — октавный аккорд — относится к зоне модуляции, 2/1 — безусловно. другая модулированная волна.

Продолжая движение вверх, модуляция имеет тенденцию к исчезновению, пока мы не достигнем отношения 3/1, где от нее уже не остается и следа, волна полностью однородна.

Начиная с 3/1 волна всегда будет иметь эту синусоидальную форму, она кажется ограниченной или ограниченной двумя воображаемыми огибающими, как видно на изображении выше, двумя параллельными синусоидальными огибающими, которые придают волне постоянную толщину. .

С другой стороны, в зоне выше соотношения 3/1 нет такого разнообразия волновых форм, как в нижней зоне. В случае соотношения 3/1 эти конверты как бы превращаются в две параллельные прямые линии.

По мере того, как мы возвращаемся от 3/1 к 1/1, эти воображаемые синусоидальные огибающие кажутся смещающимися относительно друг друга, и фазовый сдвиг продолжается до тех пор, пока он не приводит к типичным формам пакетов (модуляция), и эти огибающие перестают быть параллельными, а симметричны друг другу, как в случае 9/8.

Из приведенного выше изображения можно сделать два вывода:

Во-первых, есть две определенные зоны, которые делят область аккордов: верхняя зона выше соотношения 3/1 и нижняя зона ниже 3/1, которую мы могли бы назвать зоной модуляции.

Таким образом, соотношение 3/1 является настоящей вехой для определения аккордового созвучия, даже более важного, чем октава.

Второй вывод заключается в том, что в интервале [1,3] существуют два смешанных типа консонанса: первый определяется количеством пиков и их амплитудами, а второй диссонанс вносится волновой упаковкой, то есть модуляцией.

Учитывая все это, немедленным действием должно быть построение индекса диссонанса на основе значений частот аккордов, таким образом, был разработан программный код для генерации неприводимых рациональных чисел в соответствии с известными последовательностями Броко, которые используются как отношения частот в уравнении несущей-модулятора, чтобы, наконец, получить требуемые параметры для индекса диссонанса.

Используя такой индекс диссонанса, мы выберем наиболее согласные соотношения, чтобы создать звукоряд под названием «Tríplice», который основан исключительно на наиболее согласных двухнотных аккордах, принцип которого сильно отличается от того, который используется в традиционных звукорядах.

Конечно, некоторые значения из этой новой гаммы будут совпадать с некоторыми соотношениями из пользовательских музыкальных гамм, потому что есть очевидные созвучия, однако другие этого не делают.

Следует уравнению суммы двух синусоидальных волн

выражается как произведение косинуса модулирующей функции и другой синусоидальной функции, называемой несущей, частота которой является средним значением частот двухзвукового аккорда.

(Результирующая волна представлена ​​самой толстой кривой)

Рядом с результирующей волной включены Модуляторная и Несущая волны: Косинус и синус.

Наиболее важным элементом здесь является отношение половины периода модуляции ко всему периоду несущей.

В случае отношения 3/1, половина периода модуляции охватывает только один период несущей, и это важно, потому что это объясняет, почему отношение 3/1 является своего рода граничным пределом для типов аккордов, так как отношение происходит от 3/ 1 по направлению к 1/1, один полупериод модуляции будет охватывать много периодов несущей. С другой стороны, в верхней зоне, которая соответствует всем отношениям больше 3/1, происходит обратное, период несущей всегда больше половины периода модуляции.

Теперь возникает вопрос: как модулятор воздействует на несущую, чтобы генерировать результирующую волну? Для отношения 3/1 и в пределах основного периода результирующей волны Модулятор и Несущая пересекаются одновременно по горизонтальной оси, по обе стороны от этой точки модулятор меняет свой знак, и поскольку он является произведением косинус на синус, то и весь пик несущей меняет знак.

Кроме того, Модулятор также масштабирует пиковую амплитуду несущей, однако, не изменяя ее формы (см. примечания) и, наконец, в результате получается такая однородная форма волны.

В случае отношения 2/1 несущая не совпадает с модулятором при пересечении горизонтальной оси, и в этой точке из-за смены знака модулятор изменяет форму несущей волны, и появляется новый дополнительный пик создается в результирующей волне. Следовательно, модулятор не только масштабирует пик несущей, но и изменяет форму волны несущей (см. примечания).

Как я уже сказал, для отношений, близких к 1/1, один половинный период модуляции охватывает много периодов несущей, и поэтому он просто постепенно упаковывает их амплитудные пики в соответствии с функцией косинуса, то есть как в случае 9/8, который мы видели. ранее.

Здесь важно упомянуть вопрос о точности ушей к декодированию и обработке входного сигнала, я имею в виду временное разрешение ушей и функцию временной модуляции, среди прочих тем, по которым специалисты в этом вопросе сходятся во мнении, что для низких частот становится уху легче воспринимать разницу в амплитуде модуляции, тогда как для высоких частот этот тип восприятия снижается, поэтому в случае низкочастотных аккордов в некоторой степени может ощущаться модуляционный диссонанс, и следует отметить, что это происходит даже в случае октавы, но не для отношения 3/1.

Таким образом, выражения «чистый» и «совершенный», среди многих других, обычно используемых в музыке, не должны использоваться для придания какого-либо значения отношениям ниже 3/1. Для соотношений 4/3 и 5/4 вам не нужны очень низкие частоты, чтобы почувствовать диссонанс модуляции.

Все это подробно описано в книге, а на случай сравнения консонансов между разными аккордами включена таблица с соответствующими параметрами. На изображениях, показанных на экране, обратите внимание, что все пики несущих соответствуют пикам результирующих волн.

Соотношение между половиной периода модулятора и полным периодом несущей, которое показано как отношение «r» на изображении выше, облегчает понимание того, как генерируется форма волны, а также позволяет рассчитать количество пиков и их амплитуды.

Это подтверждает, что соотношение 3/1 является вехой, которая представляет собой особую точку для соотношения «r», более того, оно выявляет границу между двумя зонами, двумя категориями аккордов или типами волновых форм. Интересно посмотреть на распределение пиков носителей в интервалах [2,3] и [1,2].

На следующем изображении показана ось y, которая представляет количество пиков несущей, и ось x, представляющая отношения частот.

Название: Harmonies Garden — это всего лишь абстракция из-за сходства этого образа с лесом или садом. Это изображение показывает много любопытных свойств. в основном при масштабировании и детализации внизу любого из появляющихся там кустов, конечно, если мне позволено так их называть.

Был разработан программный код для генерации последовательностей Броко, и путем обработки параметров результирующей волны, а также с использованием уравнения несущей-модулятора вычисляется индекс геометрического диссонанса.

Этот индекс геометрического диссонанса обозначается аббревиатурой Idm и зависит от различных факторов.

Как видите, Idm появляется в последнем столбце таблицы, из которой здесь показан лишь небольшой раздел. Кроме того, имеются два графика Idm-распределения для интервалов [1,2] и [2,3], которые для лучшей наглядности выделены на экране.

Только обратите внимание, что они должны быть объединены, так как мы имеем дело со всей шкалой [1,3].

Эти два графика позволяют нам выбрать отношения с самыми низкими показателями диссонанса, я имею в виду те отношения, которые показаны рядом с самыми низкими вершинами на обоих графиках.

Ось Y указывает индекс диссонанса, а ось X представляет соответствующие отношения частот.

Это выбранные коэффициенты для новой шкалы под названием: The Triplice, конечно, каждый волен добавлять коэффициенты из других вершин или исключать другие по любым критериям.

Суть в том, чтобы установить предел для индекса диссонанса. В него также включено уравнение модулятора-несущей для более чем двух синусоидальных волн, поэтому индекс диссонанса можно вычислить для любого количества звуков.

В этом случае выражение имеет в основном ту же структуру, оно имеет несколько модулирующих косинусоидальных функций, которые умножаются на несущую синусоидальную функцию, и с помощью этого уравнения можно легко выполнить аналогичную процедуру для вычисления индекса диссонанса.

Другой способ определить диссонанс — сгруппировать звуки в наборы из двух нот, а затем вычислить сумму или среднее значение для всех этих наборов.

Следует также отметить, что для сравнения гармоник необходимо проводить спектральный анализ, что для некоторых может представлять неудобство. Таким образом, принято утверждать, что для определения консонанса диссонируют волны, гармоники которых не имеют совпадающих узлов, однако проблема в том, что при сравнении аккордов, если не совпадают все узлы гармоник максимальной амплитуды, то становится очень трудно определить, что более диссонансно и в какой степени. С индексом диссонанса модуляции такой проблемы нет.

Примечание. Приложения для расчета конструкций (проектирование конструкций)

Наконец, хотя тема созвучия всегда ориентирована на искусство, она может иметь определенное значение и для инженерных наук. Для инженера-конструктора или инженера-механика колебательные моды конструкции, которые обычно называют «гармониками» в музыке, являются основой структурного анализа, то, если помимо учета резонансных явлений, а также участия масс в силах, приложенных к конструкции, из-за этих гармоник, как это обычно делается в структурном анализе, тогда он также будет включать в анализ то, что я мог бы назвать созвучием масс или музыкой структур, тогда показатель диссонанса Idm можно использовать для предварительного вывода о требуемом смещении конструкции.

Напомним, что согласный аккорд имеет небольшое количество пиков амплитуды, меньшую геометрическую сложность волны, низкую потребность в ушах и минимальную потребность в рассеянии энергии.

Вы можете найти полную информацию об этом методе по адресу: https://numbermusicrevolution.com/musicrevolution/

а также по адресу: