Есть ли связь между группами Ли и наблюдаемыми величинами в физике?

Добрый вечер всем.

У меня есть несколько вопросов о связи между группами Ли и наблюдаемыми в физике. Действительно, на примере спинового формализма квантовой механики я знаю, что матрицы Паули { о я } соответствуют наблюдаемой величине ( 1 2 собственные значения проекции спина), поскольку последние являются эрмитовыми операторами.

Однако из недавнего исследования теории групп я понял, что 1 2 собственные состояния спина классической КМ могут охватывать векторное пространство, которое преобразуется при представлении группы Ли С U ( 2 ) .

Всегда бывает так, что эрмитов базис алгебры Ли представляет собой наблюдаемую величину в КМ, или это имеет место только для С U ( 2 ) группа? Какова общая связь между теорией групп и наблюдаемыми величинами КМ и КТП?

Квантовые наблюдаемые являются самосопряженными операторами, а классические наблюдаемые также образуют алгебру Ли на фазовом пространстве под скобкой Пуассона.
Я понимаю вашу точку зрения и согласен с вами. Но у меня все еще есть некоторые проблемы, чтобы понять, как возможно, что группа Ли, объект, который кодирует на своем «макроскопическом уровне» информацию о том, как объект трансформируется, может кодировать на своем бесконечно малом уровне другой формализм для измерения физических величин. Это кажется захватывающим и очень сложным одновременно xD
Знаете ли вы о теореме Нётер и о том, как она связывает симметрии с сохраняющимися величинами, такими как импульс и энергия? Я думаю, что это может быть недостающая связь между физическими наблюдаемыми (которые в конечном итоге являются сохраняющимися величинами) и симметриями, которые вы ищете?
Да, но теорема Нётер утверждает сохранение общего заряда при наличии группы преобразований, которая оставляет действие инвариантным (например, энергия и импульс для пространственно-временной трансляционной симметрии, как вы упомянули). :) Мой вопрос больше о том, как вы можете увидеть бесконечно малое преобразование группы Ли (алгебры Ли) как наблюдаемую величину в физике; без необходимости его сохранения.

Ответы (1)

Позволять А — C*-алгебра квантово-механической системы, и предположим, что г действует на А симметриями через гомоморфизм групп α : г → Авт ( А ) . Предположим далее, что г — односвязная группа Ли с тривиальной ЧАС 2 ( г , р ) , г являющийся алгеброй Ли г . Если π является α -регулярное представление, означающее, что вероятность перехода п ю → ю ∘ α г непрерывен в г е г для каждого штата ю , затем г может быть унитарно представлен на гильбертовом пространстве π таким образом, что

ты г π ( а ) ты г * "=" π ( α г ( а ) ) , ∀ а е А ,
по теореме Баргмана. Это выражает тот факт, что пара ( π , ты ) является ковариантным представлением г -алгебра А . С ты представляет собой представление г , он индуцирует представление г на гильбертовом пространстве π а также через самосопряженные операторы. Следовательно, если вы позволите генераторам жить в большей C*-алгебре, порожденной π ( А ) и все ты г для любого г е г (скрещенное произведение А ⋊ ( π , ты ) г ), вы можете интерпретировать их как наблюдаемые. В большинстве случаев этим операторам можно придать физический смысл (например, генераторы смещений являются операторами импульса и т. д.).

Я думаю, это должно быть г → А ты т ( А ) . Я не так хорошо знаю физику, поэтому, если вы не возражаете: С * -алгебра системы алгебра (или алгебра) наблюдаемых? Если да, то является ли это алгеброй эрмитовых операторов на некотором фиксированном гильбертовом пространстве (состоянии) или ее абстрактной С * -алгебры описывают всю систему, и мы можем работать с различными представлениями ( А -модули)?
Спасибо, действительно вы правы! Конечно, кодовый домен α должен принадлежать множеству автоморфизмов C*-алгебры. Указанная алгебра является алгеброй всех наблюдаемых. Когда вы подготавливаете механическую систему к определенному состоянию, вы получаете представление A в некотором гильбертовом пространстве, следуя определенной конструкции, известной как конструкция GNS. В более общем смысле вся физика закодирована в теории представлений А .
Есть ли связь между группами Ли и наблюдаемыми величинами в физике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v