Почему алгебра Ли, соответствующая унитарной группе, содержит эрмитовы операторы?

Короткий ответ заключается в том, что идея групповых элементов, бесконечно близких к единичному элементу, описывается алгеброй Ли группы. Если$\mathbb{1}$является единицей унитарной группы, мы можем думать о бесконечно мало близких элементах как$\mathbb{1} + i\epsilon X$, где$\epsilon$— малое (действительное) число. Совокупность всех возможных$X$такой, что$\mathbb{1}+i\epsilon X$унитарна, является алгеброй Ли унитарной группы. Вы можете проверить это, чтобы$\mathbb{1} + i\epsilon X$быть единым,$X$должен быть эрмитовым. (Просто примените условие унитарности,$U^\dagger U = \mathbb{1}$и игнорировать члены второго порядка в$\epsilon$.) Вот что подразумевается под «алгеброй Ли унитарной группы есть множество эрмитовых операторов».

Некоторая дополнительная информация, которую можно добавить к правильному ответу qm-arv , часть, которая может помочь вам сейчас, часть позже, когда вы лучше разберетесь в предмете.

Группа Ли — это, по существу, группа, которая также является многообразием, т. е. она может быть размечена по частям координатами, и у нас также есть дополнительное требование, чтобы групповые операции (умножение и обратное) индуцировали непрерывные функции этих координат. То есть мы можем написать выражения для координат произведения как функции координат множимых, и полученное выражение определяет непрерывную функцию; аналогично для обратного.

Это имеет отношение к уравнению Шредингера, так как для инвариантного во времени гамильтониана уравнение Шредингера описывает эволюцию квантового состояния системы, когда система не возмущена; поэтому оператор$U(\tau)$описывающая эволюцию через некоторый интервал времени$\tau$должны быть одинаковыми независимо от времени начала эволюции. Итак, если мы подумаем о временном интервале длиной$\tau+s$, это эквивалентно эволюции для интервала времени$\tau$, с последующей эволюцией для временного интервала$s$(или наоборот) и приходим к выводу, что:

то есть набор$\{U(\tau):\,\tau\in\mathbb{R}\}$всех операторов эволюции этой невозмущенной системы для всех интервалов времени должны образовывать группу, естественно называемую однопараметрической группой . Это всегда абелева (коммутативная) группа.

Мы привыкли к постоянству Природы в своих действиях, поэтому естественно постулировать, что$U(\tau)$является непрерывной функцией продолжительности эволюции$\tau$.

Теперь, если наша квантовая система является конечномерной, все операторы в (1) имеют коммутирующие конечномерные матрицы. Мы можем манипулировать квадратными матрицами точно так же, как скалярами, поэтому мы можем быстро вывести, как и для действительных чисел, что единственная непрерывная функция, удовлетворяющая (1), является функцией вида

для некоторой постоянной квадратной матрицы$K$. Ряд универсально сходится для конечномерных квадратных матриц. Кроме того, для$\tau$достаточно мала, так что$U(\tau)$должен приближаться к единичной матрице, логарифм матрицы определяется однозначно:

Группы Ли всегда имеют по крайней мере одну такую ​​группу параметров, проходящую через них; на самом деле каждый член, достаточно близкий к идентичности, должен быть членом одной из этих групп с одним параметром, поэтому другая характеристика алгебры Ли$\mathfrak{h}$в группе Ли$\mathfrak{H}$это множество всех логарифмов членов группы Ли$U\in\mathfrak{H}$такой, что$\|U-\mathrm{id}\|<1$вместе со всеми скалярными кратными этих логарифмов. Это также приводит к эквивалентной характеристике алгебры Ли:

Для квантовых векторов состояния их нормы должны сохраняться при любой эволюции, поэтому все соответствующие операторы должны быть унитарными. Это означает, что все наши логарифмы должны быть косоэрмитовыми или иметь вид$K=i\,H$где$H$является эрмитовым, как вы показали, и правильный ответ qm-arv заявил. В унитарной группе, компактной и связной, каждый член группы Ли является экспонентой члена алгебры Ли; это верно для компонента тождественной связности всех компактных групп Ли, но некоторые некомпактные группы имеют подгруппы тождественной связности с членами, которые не могут быть записаны в виде экспоненты члена алгебры Ли. Конечно, не элемент$\gamma$то есть вне компонента тождественной связности любой группы Ли, может быть экспоненциальным$\exp(H)$элемента алгебры Ли$H$, так как такой элемент связан с идентификатором путем$\{\exp(t\,H)|\;t\in[0,\,1]\}$.

В бесконечномерном случае все это остается в силе благодаря замечательной теореме Стоуна об однопараметрических унитарных группах . Эта замечательная теорема показывает, что для любого гильбертова пространства, пока мы говорим об однопараметрических группах, где умножение в (1) сильно непрерывно, существует взаимно однозначное соответствие между всеми такими группами в гильбертовом пространстве и (возможно, неограниченные) самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. То есть у нас всегда$U(\tau) = \exp(i\,\tau\,H)$для некоторого, возможно неограниченного, самосопряженного оператора$H$. Даже более слабые условия, чем сильная непрерывность, могут заставить эту теорему работать, если рассматриваемое гильбертово пространство сепарабельно, как это всегда бывает в квантовой механике.

Там, где мы говорим об однопараметрических группах операторов временной эволюции, соответствующие самосопряженные операторы представляют собой гамильтонианы, определяемые изолированными эволюциями квантовых состояний.

В качестве другого примера использования этой мощной теоремы в квантовой механике у нас есть сильно непрерывная группа унитарных операторов сдвига, определенная в гильбертовом пространстве$L^2$функции$\tilde{U}(\tau)\, \psi(x) = \psi(x+\tau)$. По теореме существует самосопряженный оператор$D$такой, что$U(\tau) = \exp(i\,\tau\,D)$.

Когда мы ограничиваем$D$сгладить функции,$D$можно записать как$D = -i\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$, и мы получаем ряд Тейлора:

элегантно показывая соответствие между оператором импульса$-i\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$и перевод в пространстве.

Эрмитова часть немного произвольна в том смысле, что все операторы могут быть умножены на$i$и стать антиотшельником. Более того, нет причин придерживаться эрмитовых операторов, поскольку$L_+, L_-$и$L_z$являются законной основой для алгебры Ли$su(2)$(точнее, его комплексное расширение).

Выбор эрмитовых операторов удобен тем, что

Возвращаясь к возможности записи унитарной матрицы с использованием экспонент неэрмитовых операторов, знаменитый пример:$SU(2)$, где$SU(2)$матрица$R$можно записать «в антинормальной форме»

Аналогичный пример существует для алгебры Гейзенберга-Вейля. Вы можете выбрать в качестве основы для алгебры Ли$\hat x, \hat p$и$I$, или$\hat a, \hat a^\dagger$и$I$, и выразить перевод в нормально-упорядоченной форме или антинормально-упорядоченной форме. В этих последних двух случаях перевод включает в себя возведение в степень неэрмитовых операторов.

Помните, что унитарные матрицы образуют группу Ли. Если мы рассмотрим однопараметрическую подгруппу$\{U(t)\}$, по теории групп Ли получается, что:

Но мы можем переписать выражение выше с$H=-iK$:

Заметьте, что сейчас$H$является эрмитовой матрицей.

Во всяком случае, мы можем показать прямо, что$H$является эрмитовым, используя свойства матричной экспоненты и не полагаясь на приближения . У нас есть это

Но