Есть ли закономерность в количестве диезов в хроматической гамме?

Да, есть шаблон. Исходной отправной точкой являются следующие два факта:

• Традиционно западная музыкальная гамма была основана на 7-нотной шкале, названной AG.
• С точки зрения акустики, самая основная гармония, помимо унисонов и октав, — это совершенная квинта (P5), которая может быть очень точно аппроксимирована 7/12 октавы (где каждая 12-я октава называется полушагом, H). .

Чтобы максимизировать появление P5, шкала построена так, что каждая из семи нот в шкале находится на расстоянии P5 от другой ноты. Поскольку высота тона «огибает» октаву, мы используем так называемую «модульную арифметику» (подумайте о сложении часов, где 11:00 + 2 часа = 1:00), обозначаемую ниже обозначением «mod12». Если мы начнем с F (которая в вашей схеме нумерации равна 5) и каждый раз будем добавлять P5 (7 полушагов), то получим следующую последовательность нот:

• Ф = 5
• С = F+P5 = 5+7 mod12 = 0
• G = C+P5 = 0+7 mod12 = 7
• D = G+P5 = 7+7 mod12 = 2
• А = D+P5 = 2+7 mod12 = 9
• Е = А+Р5 = 9+7 mod12 = 4
• B = E+P5 = 4+7 mod12 = 11

Это дает нам образцы недиезных и небемольных нот. Однако вы заметите, что расстояние от B до F равно 6, а не 7, что соответствует диссонансному интервалу, называемому тритоном, а не P5. Чтобы решить эту проблему, у вас есть два варианта: вы можете заменить B на ноту P5 ниже F:

• B♭ = F-P5 = 5-7 mod12 = 10 = B-1

Или вы можете заменить F на ноту P5 выше B:

• F♯ = B+P5 = 11+7 mod12 = 6 = F+1

Обратите внимание, что эти новые примечания заменяют исходные и находятся либо на полшага ниже, либо выше примечания, которое они заменяют. Также обратите внимание, что этот шаблон можно продолжать бесконечно, добавляя или вычитая 7 (mod12), чтобы получить следующую ноту в последовательности.

Обновление: если вы экстраполируете и обобщаете приведенную выше последовательность, вы заметите, что любой шаг может быть представлен формулой:

(5 + п*7) мод 12

В этой формуле значение n сообщает вам две важные вещи о том, как называется эта высота звука.

• Если вы разделите n на 7, целая часть деления (технически пол) скажет вам, сколько диезов (положительных) или бемолей (отрицательных) имеет нота. Например, если n находится в диапазоне от 0 до 6, floor(n/7) = 0, и вы получите простые имена нот, перечисленные выше. Если n находится в диапазоне от 7 до 13 (floor(n/7) = 1), вы получаете имена с одинарными диезами. В диапазоне 14..20 (пол (n/7) = 2) вы получаете двойные диезы. В диапазоне -7..-1 (этаж(n/7) = -1) вы получаете квартиры.
• Остаток от деления n/7 дает вам число от 0 до 6, которое дает вам буквенное имя в порядке (F, C, G, D, A, E, B).

Как вы указываете в комментариях, эта последовательность в конечном итоге будет повторяться, поскольку это модульная арифметика. Действительно, это правда, и это отражает очень важный факт о нашей музыкальной системе: ни одна нота не имеет единственного уникального имени, а может быть выражена с помощью любого количества различных имен (названия нот и высоты тона не являются взаимно однозначными). функция). Например, все следующие имена высоты тона сопоставляются с одним и тем же классом тона:

• Ф = 5
• E♯ = (5 + 12*7) mod12 = 5
• D♯♯♯ = (5 + 24*7) mod12 = 5
• С♯♯♯♯♯ = (5 + 36*7) mod12 = 5
• G♭♭ = (5 - 12*7) mod12 = 5
• А♭♭♭♭ = (5 - 24*7) mod12 = 5

Таким образом, как видите, технически все высоты можно охарактеризовать как диезы или бемоли. Однако также будет существовать недиезное и небемолевое имя ноты только в том случае, когда число высоты тона может быть выражено с помощью n таким образом, что floor(n/7) == 0 (другими словами, n находится в диапазон 0..6).

Несколько более простой ответ, для нас, простых смертных. Напишите названия нот по кругу, как цифры на циферблате, в том же порядке, что и раньше. C можно идти куда угодно - я поставил на 12 часов. Начните с C (без # или b) и считайте по часовой стрелке 7. Вы дойдете до G. 1#. Пройдите еще 7, и вы доберетесь до D. 2#. И так далее. Теперь вернитесь к C, на этот раз сосчитайте против часовой стрелки 7. Вы получите F. 1b. Еще на 7 вы получаете Bb. 2б. Очевидно (?), что си-бемоль не будет называться A#, потому что мы сейчас находимся на флетовой территории. Как вы превратите это в уравнение, зависит от вас, математика!

Вот «формула» для поиска естественных и резких нот, выраженная в виде вычислений Python/numpy (MATLAB тоже подойдет). Это не уточненный расчет, а простой способ генерировать числа и группировать их (смешивая массивы, наборы и отсортированные списки).

i = np.arange(5,200,7)  # numbers from 5 up, stepping by 7

natural = set((i%12)[:7])  # modulus by 12; 1st set of 7
# set([0, 2, 4, 5, 7, 9, 11])


next = set((i%12)[7:14])  # 2nd set
# set([0, 1, 3, 5, 6, 8, 10])

sharps = sorted(set(next-natural)   # remove the naturals
# [1, 3, 6, 8, 10]

Натуральные числа — это 1-й набор из 7, диезы — 2-й набор, за вычетом тех, которые мы уже идентифицировали как натуральные (0 и 5).

Если я начну счет с 0,

naturals: [0, 2, 4, 6, 7, 9, 11])
sharps: [1, 3, 5, 8, 10]

По сути F G A B C D Eи F# G# A# C# D#.

Так что я могу начать счет где угодно, но расположение полутонов в натуральной гамме сместится.

https://en.wikipedia.org/wiki/Mode_(music)#Summary — описывает эту связь между режимами и кругом.

Используя вашу формулу

 f(x) = (x - 5) * 7 mod 12. 
 If f(x) <= 6, the note is non-sharp. 
 Otherwise it's sharp. 
 x >= 0 and x <= 11.

In [79]: x=np.arange(0,12)
In [80]: fx=((x-5)*7)%12

In [81]: x[~(fx<7)]  # the sharps
Out[81]: array([ 1,  3,  6,  8, 10])

In [82]: x[fx<7]  # the naturals
Out[82]: array([ 0,  2,  4,  5,  7,  9, 11])

7 и 12 производят круговой рисунок TTSTTTS; 5 привязывает его к ионийскому (CMajor) режиму.

Предыдущие ответы хороши, но я думаю, что с музыкальной точки зрения также важно, что, поскольку диезы добавляются через цикл квинт, это означает, что то, что вы называете «диезами», вместе взятые образуют пентатонику. В частности, C#, D#, F#, G# и A# образуют мажорную пентатонику F#.