Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

Question

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

пользователь35734

Я работал над упражнением 2.60 Нильсена-Чуанга, которое выглядит следующим образом:

Покажи то $\vec{v}\cdot\vec{\sigma}$ имеет собственные значения $\pm 1$ , и что проекторы на соответствующие собственные пространства задаются формулой $P_{\pm}=I\pm (\vec{v}\cdot\vec{\sigma})/2$ .

Я написал $v=a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}$ , так $\vec{v}\cdot\vec{\sigma}$ представляет собой матрицу с элементами $c,a-bi,a+bi,-c$ . Затем я смог найти собственные значения $\pm 1$ найдя $\lambda$ для которого определитель $\vec{v}\cdot\vec{\sigma}-\lambda I$ является $0$ . Но у меня больше проблем со второй частью проблемы.

Обычно я бы просто нашел собственный вектор для каждого собственного значения и использовал его, чтобы найти оператор проекции, но всякий раз, когда я пытаюсь найти собственный вектор, я получаю $0=0$ . Например, для собственного значения $1$ Я получаю следующие два уравнения:

(с - 1) Икс + (а - б я) у "=" 0

$(c-1)x+(a-bi)y=0$

(а + б я) Икс + (- с - 1) у "=" 0

$(a+bi)x+(-c-1)y=0$ и когда я пытаюсь отменить

y

$y$ условия я получаю

(a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1) x = 0

$(a^2+b^2+c^2-1)x=0$ что просто

0 = 0

$0=0$ .

Тем не менее, форма ответа заставляет меня думать, что есть более простой способ.

$I+(\vec{v}\cdot \vec{\sigma})$ просто $\vec{v}\cdot\vec{\sigma}-\lambda I$ для $\lambda=-1$ . и $I-(\vec{v}\cdot \vec{\sigma})$ является отрицательным $\vec{v}\cdot\vec{\sigma}-\lambda I$ для $\lambda=1$ . А потом есть $\frac{1}{2}$ множитель, поэтому сумма проекционных операторов равна $I$ . Может ли кто-нибудь объяснить, почему это так и как можно найти проекционные операторы с нуля, если вы не знаете собственные векторы? (Я могу показать, что это проекционные операторы, но не знаю, как их найти, если в вопросе явно не указано, что они из себя представляют.)

Кроме того, может ли кто-нибудь сказать мне, как решить приведенную выше систему уравнений?

Мартин

Я проголосую за закрытие, так как это чисто математический вопрос. Тем не менее, есть почти тривиальный способ доказать это утверждение, потому что у вас уже есть ответ: а) вы доказываете, что

P_{\pm}

$P_{\pm}$ являются проекциями с

P_{+} P_{-} = 0

$P_+P_-=0$ . б) Посмотрите на

P_{+} - P_{-}

$P_+-P_-$ и подумайте об уникальности спектрального разложения.

пользователь35734

Есть ли простой способ найти проекции с нуля без предварительного поиска собственных векторов? Я знаю, как проверить, что данные операторы являются проекциями.

Ответы (2)

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

Я проголосую за закрытие, так как это чисто математический вопрос. Тем не менее, есть почти тривиальный способ доказать это утверждение, потому что у вас уже есть ответ: а) вы доказываете, что $P_{\pm}$ являются проекциями с $P_+P_-=0$ . б) Посмотрите на $P_+-P_-$ и подумайте об уникальности спектрального разложения.
Есть ли простой способ найти проекции с нуля без предварительного поиска собственных векторов? Я знаю, как проверить, что данные операторы являются проекциями.

Herr_Mitesch · Answer 1

Действительно, есть способ построить проекционные операторы, когда вы знаете только сам оператор и его собственные значения. Вывод можно найти в книге Джулиана Швингера «Квантовая механика: символизм атомных измерений».

п_{Дж} "=" \prod_{я \neq Дж} \frac{А - а_{я}}{а_{Дж} - а_{я}},

$P_j = \prod_{i\neq j} \frac{A-a_i}{a_j - a_i},$

где произведение проходит по всем различным собственным значениям $a_i$ из $A$ . Нетрудно увидеть, что он действительно выполняет

п_{я} | ψ_{Дж} ⟩ "=" {дельта}_{я Дж} | ψ_{Дж} ⟩,

$P_i |\psi_j\rangle = \delta_{ij}|\psi_j\rangle,$ где не подразумевается суммирование.

Если вы примените это к своей проблеме, вы получите (правильные) проекторы

п_{+} "=" \frac{\vec{в} \cdot \vec{о} - (- 1)}{1 - (- 1)} "=" \frac{я + \vec{в} \cdot \vec{о}}{2} п_{-} "=" \frac{\vec{в} \cdot \vec{о} - 1}{(- 1) - 1} "=" \frac{я - \vec{в} \cdot \vec{о}}{2}

$P_{+} = \frac{\vec v \cdot \vec \sigma -(-1)}{1-(-1)} = \frac{I+\vec v \cdot\vec \sigma}2\\ P_- = \frac{\vec v \cdot \vec \sigma - 1}{(-1)-1} = \frac{I-\vec v \cdot \vec \sigma}{2}$

На какой странице можно найти вывод?
@AlexProvost: ковариантный вариант Фробениуса .

Тимей · Answer 2

Собственные векторы не определены с точностью до скалярного кратного. Так, например, если c = 1, то первое уравнение уже равно 0 = 0 (работа не требуется), а второе требует, чтобы y = 0, что говорит нам о том, что x может быть чем угодно. Это прекрасно и правильно, т. $x=re^{i\theta}, y=0$ является прекрасным решением, когда c = 1.

Если $c\neq 1$ тогда ни одно из уравнений уже не равно 0 = 0, поэтому мы можем выбрать любое из них и использовать его для решения x через y или для y через x. Это решение будет работать и в другом уравнении.

Например, взяв ваши уравнения:

(с - 1) Икс + (а - б я) у "=" 0,

$(c-1)x+(a-bi)y=0,$

(а + б я) Икс + (- с - 1) у "=" 0.

$(a+bi)x+(-c-1)y=0.$

Я могу решить второе уравнение и заметить, что

Икс "=" \frac{а - б я}{а^{2} + б^{2}} (с + 1) у "=" 0

$x=\frac{a-bi}{a^2+b^2}(c+1)y=0$ решает

(а + б я) Икс + (- с - 1) у "=" 0.

$(a+bi)x+(-c-1)y=0.$

Но

Икс "=" \frac{а - б я}{а^{2} + б^{2}} (с + 1) у

$x=\frac{a-bi}{a^2+b^2}(c+1)y$ также решает

(с - 1) Икс + (а - б я) у "=" 0

$(c-1)x+(a-bi)y=0$ потому что

(с - 1) \frac{а - б я}{а^{2} + б^{2}} (с + 1) у + (а - б я) у

$(c-1)\frac{a-bi}{a^2+b^2}(c+1)y+(a-bi)y$ равно

(а - б я) у (\frac{с^{2} - 1}{а^{2} + б^{2}} + \frac{а^{2} + б^{2}}{а^{2} + б^{2}}) "=" 0.

$(a-bi)y\left(\frac{c^2-1}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}\right)=0.$

Если c=1, решение x=все равно, y=0. Если c не равно 1, то решение y = любое, $x=(a-bi)(c+1)y/(a^2+b^2)$ . Все, что после слова «решает», — это просто явная проверка того, что решение (уже найденное) действительно является решением. Таким образом, получить 0 для левой стороны — это именно то, что нам нужно, поскольку правая сторона равна 0. Наши уравнения избыточны, мы не хотим использовать их все, и я просто показываю это для $c \neq 1$ мы могли бы использовать любое уравнение.
Ничего себе, я не могу поверить, что сделал эту ошибку -.- Спасибо за помощь.

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

пользователь35734

Мартин

пользователь35734

Ответы (2)

Herr_Mitesch

Алекс Провост

Космас Захос

Тимей

Тимей

пользователь35734

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Коммутатор положения и импульса

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Операторы проекции в пространстве прямого произведения

Сопряжение сопряженного оператора

Позиционирование оператора в импульсном пространстве

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?