Построение POVM для распознавания квантовых состояний mmm. Что, если они линейно зависимы?

Question

Построение POVM для распознавания квантовых состояний mmm. Что, если они линейно зависимы?

Праздник позвоночника

Я столкнулся с этой проблемой в книге Nielsen & Chuang Quantum Information (проблема 2.64).

Предположим, что Бобу дано квантовое состояние, выбранное из набора $|ψ_1 \rangle, . . . , |ψ_m\rangle$ линейно независимых состояний. Построить POVM $\{E_1, E_2, . . ., E_{m+1}\}$ такой, что если результат $E_i$ имеет место, $1 ≤ i ≤ m$ , то Боб точно знает, что ему дано состояние $|ψ_i\rangle$ . (POVM должен быть таким, чтобы $\langle ψ_i|E_i|ψ_i \rangle > 0$ для каждого $i$ .)

Это мое предлагаемое решение:

Обозначим через $|\phi_i\rangle$ (уникальный? Я думаю, это не имеет значения) вектор, ортогональный подпространству, натянутому $\{ | \psi_j \rangle \}_{j \neq i}$ и определить

Е_{я} "=" \sum_{я \neq Дж} | ф_{Дж} ⟩ ⟨ ф_{Дж} |

$E_i = \sum_{i\neq j} | \phi_j \rangle \langle\phi_j |$

Затем $\langle \psi_j | E_i | \psi_j\rangle = 0$ по конструкции и $\langle \psi_i | E_i | \psi_i\rangle > 0$ . Последний оператор определен для удовлетворения полноты:

Е_{м + 1} "=" я - \sum_{Дж "=" 1}^{м} Е_{Дж} .

$E_{m+1} = \mathbb{I} - \sum_{j=1}^m E_j.$

Итак, когда получите результат $i$ , он знает, что это не могло быть каким-либо другим $\psi_j$ , так должно быть $\psi_i$ Конечно. Если он получит результат $m+1$ , он ничего не знает. Это верно?

Что произойдет, если теперь мы введем в множество еще один вектор: $\psi \rangle = a |ψ_1 \rangle + b |ψ_2 \rangle$ , т.е. отбросить условие линейной независимости (здесь только на простом примере). Как это повлияет на $E_j$ s, можно ли еще построить POVM, как это?

Ответы (2)

Построение POVM для распознавания квантовых состояний mmm. Что, если они линейно зависимы?

Вальтер Моретти · Answer 1

Вальтер Моретти

В вашей конструкции упущена важная гипотеза.

Каждый $\phi_i$ должны также удовлетворять $\phi_i \not \perp \psi_i$ , в противном случае $\langle \psi_i |E_i \psi_i\rangle >0$ является ложным.

Этот пункт также дает ответ на ваш последний вопрос.

Если $\psi$ — добавленный дополнительный вектор, линейно зависящий от векторов $\psi_i$ , построение, которое вы сделали, не может быть предложено повторно, поскольку ограничение, которое я указал, не может быть удовлетворено. Действительно, даже если соответствующим образом добавленный нормированный вектор $\phi$ ортогонален всем $\psi_i$ , то (очевидно) невозможно, чтобы $\phi \not \perp \psi = \sum_{i=1}^n c_i \psi_i$ .

Праздник позвоночника

Итак, как я могу гарантировать, что

ϕ_{i} ⊥̸ ψ_{i}

$\phi_i \not \perp \psi_i$ в моей конструкции? Я думал, что так было всегда — я визуализировал ситуацию как плоскость в трехмерном пространстве (подпространство, охваченное

i \neq j

$i \neq j$ ) и перпендикулярный к нему вектор (

ϕ_{i}

$\phi_i$ ). Этот вектор никогда не может быть перпендикулярен любому другому вектору, не содержащемуся внутри плоскости. Я думал, что это обобщено на случай

m - 1

$m-1$ размерное подпространство

m

$m$ тусклый космос?

Вальтер Моретти

Предположим, что пространство имеет

m + q

$m+q$ размеры с

q > 0

$q>0$ (как вы обычно предполагаете, когда предполагаете, что

E_{m + 1} \neq 0

$E_{m+1}\neq 0$ ). В этом случае обязательно существует вектор

ϕ

$\phi$ которое одновременно ортогонально пространству, натянутому на все

m

$m$ векторы

ψ_{i}

$\psi_i$ , поэтому он ортогонален всем каждому

ψ_{i}

$\psi_i$ с

i = 1, \dots, m

$i=1,\ldots, m$ . Это происходит, даже если они линейно независимы. Поэтому это не всегда так, и вы должны выбрать

ϕ_{i}

$\phi_i$ навязывая также гипотезу, которую я указал. Это всегда возможно. Однако это невозможно , если

ψ_{i}

$\psi_i$ не являются линейно независимыми.

Праздник позвоночника

Но в этой конструкции пространство имеет размерность

m

$m$ и все эти подпространства

m - 1

$m-1$ размерный, поэтому я не понимаю, как это применимо здесь.

Вальтер Моретти

Вы говорите, что также предполагаете, что пространство имеет размерность

m

$m$ с нуля?

Праздник позвоночника

Кажется, я действительно предполагал это, и напрасно. В вопросе вообще не упоминается размерность пространства (хотя предположительно она должна быть конечномерной)... теперь я понимаю вашу точку зрения

Вальтер Моретти

Хорошо, если вы это предполагаете, мое ограничение выполняется автоматически, но мое последнее замечание (в моем ответе) в любом случае остается верным при рассмотрении линейно зависимых векторов. Я хочу сказать, что если вы предполагаете, что

E_{m + 1} \neq 0

$E_{m+1}\neq 0$ в общем случае пространство может иметь размерность

> m

$>m$ , как это видно в случае

ϕ_{i} ⊥ ϕ_{j}

$\phi_i \perp \phi_j$ для

i \neq j

$i\neq j$ так как ваш POVM становится PVM с

n > m

$n>m$ ортогональные проекторы.

Кимарокко · Answer 2

Неявный контекст этого упражнения — некоторое гильбертово пространство $H$ размером не менее $m$ . Позволять $W$ быть ( $m$ -мерное) подпространство $H$ охватывает множество $\{|\psi_1\rangle, ..., |\psi_m\rangle\}$ и пусть для каждого $i=1,...,m$ , $V_i$ быть ( $m-1$ мерное) подпространство $W$ охватывает множество $\{|\psi_{j}\rangle \mid j \neq i\}$ .

Теперь пусть $E_i=\frac{|o_i\rangle\langle o_i|}{m+1}$ , для $i=1,...,m$ , и разреши $E_{m+1} = I - \sum_{j=1}^m E_j$ . Тогда легко проверить, что набор операторов $\{E_1, ...,E_{m+1}\}$ удовлетворяет требованиям к ПОВМ (факторы $\frac{1}{m+1}$ должны убедиться, что $E_{m+1}$ остается положительным). Кроме того, для $1\leq i, k \leq m$ с $i\neq k$ , у нас есть $\langle\psi_k|E_i|\psi_k\rangle = 0$ , и

⟨ ψ_{я} | Е_{я} | ψ_{я} ⟩ "=" \frac{1}{м + 1} (⟨ в_{я} | о_{я} ⟩ + ⟨ о_{я} | в_{я} ⟩ + 2 ⟨ о_{я} | о_{я} ⟩) "=" \frac{2}{м + 1} ⟨ о_{я} | о_{я} ⟩ > 0,

$\langle\psi_i|E_i|\psi_i\rangle = \frac{1}{m+1}\big( \langle v_i|o_i\rangle + \langle o_i|v_i\rangle + 2\langle o_i|o_i\rangle \big) = \frac{2}{m+1}\langle o_i|o_i\rangle>0,$ как хотел.

Есть кое-что, что я считаю нужным еще. Откуда Боб знает, какой $E_i$ взял? Также если $\langle o_i|o_i\rangle$ равны для двух значений $i$ (в крайнем случае множество $\lbrace |\Psi_i\rangle\rbrace$ ортонормирован), как Боб может определить, какой $|\Psi_i\rangle$ он измерил?
Я думаю, что вместо этого нужно $E_i=\frac{|o_i\rangle \langle o_i|}{i+1}$ .
Чтобы убедиться $E_{m+1}$ остается положительным, $E_i$ необходимо определить как $E_i=\frac{|o_i\rangle\langle o_i|}{m\langle o_i|o_i\rangle}$ .
Позвольте мне показать, почему это так. Предполагать $w\in W$ произвольный вектор из $W$ . Затем $\langle w|E_i|w\rangle=\frac{\langle w|o_i\rangle\langle o_i|w\rangle}{m\langle o_i|o_i\rangle}=\frac{|\langle o_i|w\rangle|^2}{m\langle o_i|o_i\rangle}$ . Это очевидно $>0$ , так $E_i$ для $i \le m$ положительный, как и требовалось. Сейчас, $\langle w|E_{m+1}|w\rangle=\langle w|w\rangle-\sum_{i=1}^m\frac{|\langle o_i|w\rangle|^2}{m\langle o_i|o_i\rangle}$ .
По неравенству Коши-Шварца $|\langle o_i|w\rangle|^2\le\langle o_i|o_i\rangle\langle w|w\rangle$ , так $\langle w|E_{m+1}|w\rangle\ge\langle w|w\rangle-\sum_{i=1}^m\frac{\langle o_i|o_i\rangle\langle w|w\rangle}{m\langle o_i|o_i\rangle}=\langle w|w\rangle-\langle w|w\rangle=0$ , так $E_{m+1}$ положительный, как и требовалось.
Обратите внимание, что векторы $|o_i\rangle$ не нормализованы, поэтому $\langle o_i|o_i\rangle$ не должно быть $1$ , а значит, это неравенство не выполнялось бы без множителя $\langle o_i|o_i\rangle$ в знаменателе. Еще одна вещь, отличающаяся от моего определения, - это использование $m$ , вместо $m+1$ . $m+1$ тоже работает, но $+1$ есть ненужное.
@ user2820579 Бобу не нужно решать, какой $E_i$ брать. Измерение математически описывается набором операторов $E_i$ связан с каждым результатом измерения, но физический акт измерения — это всего лишь одно действие, дающее один из результатов измерения $E_i$ случайным образом, в зависимости от измеряемого состояния.

Построение POVM для распознавания квантовых состояний mmm. Что, если они линейно зависимы?

Праздник позвоночника

Ответы (2)

Вальтер Моретти

Праздник позвоночника

Вальтер Моретти

Праздник позвоночника

Вальтер Моретти

Праздник позвоночника

Вальтер Моретти

Кимарокко

пользователь 2820579

пользователь 2820579

ДартЛенин

ДартЛенин

ДартЛенин

ДартЛенин

ДартЛенин

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Эти два оператора коммутируют... но их собственные векторы не одинаковы. Почему?

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Эквивалентность кет вектору и эквивалентность состояний с точностью до глобальной фазы, вопрос об обозначениях

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Можно ли вывести уравнение Шредингера из квантовой теории информации?

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Квантовая запутанность неразличимых частиц