Эйнбейн в действии релятивистских массивных точечных частиц [закрыто]

История следующая. Начнем с простейшего пуанкаре-инвариантного действия, не зависящего от параметризации

$$S=-m\int dl=-m\int\sqrt{-ds^2}$$ здесь $ds^2$интервал. Мы можем переписать его как $$S=-m\int\sqrt{dX^\mu dX^\nu \eta_{\mu\nu}}$$ здесь $\eta_{\mu\nu}$является метрикой Минковского. Теперь, если мы предположим, что $X^\mu$зависеть только от $\tau$мы получаем $dX^\mu=\dot{X}^\mu d\tau$ $$S=-m\int d\tau (-\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)^{1/2}.$$

Теперь заметим (догадываемся, а потом проверяем), что вышеуказанное действие эквивалентно следующему

$$S'=\frac{1}{2}\int d\tau(\eta^{-1}\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu-\eta m^2).$$ И действительно, уравнение движения для $\eta$(который получается из $\displaystyle{\frac{\delta S}{\delta \eta}=0}$) является $$\eta^2=-\frac{\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu}{m^2}.$$ Теперь, если вы подставите это выражение в $S'$вы получаете оригинальное действие $S$.