Какова мотивация действия Эйнштейна-Гильберта?

Быстрый и грязный способ увидеть это — рассмотреть энергию стресса.$T_{\mu\nu}$и его связь с лагранжевой плотностью

$$T_{\mu\nu}~=~2\frac{\partial{\cal L}}{\partial g^{\mu\nu}}~-~g_{\mu\nu}{\cal L}.$$ Теперь возьмите след этого, умножив на $g^{\mu\nu}$поэтому мы получаем $$g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}~=~2{\cal L}~+~2g^{\mu\nu}\frac{\partial{\cal L}}{\partial g^{\mu\nu}}.$$ Теперь сравните это с уравнением поля Эйнштейна $R_{\mu\nu}~-~\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ $=~8\pi GT_{\mu\nu}$. Умножьте это на $g^{\mu\nu}$и это легко увидеть ${\cal L}~=~R$.

Однако это непротиворечиво во всех координатах, поскольку плотность лагранжиана оценивается как$\int{\cal L}d^4x$. Чтобы сделать это непротиворечивым в отношении преобразований координат, это нужно умножить на мощность определителя Якоби метрического тензора. Определитель Якоби метрического тензора равен

$$det\Big|\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}\Big|~=~\sqrt{-g}.$$ Это означает, что полная плотность лагранжиана для гравитации равна ${\cal L}_g~=~\sqrt{-g}R$.

Я считаю, что это исходит из принципа наименьшего действия. Рассмотрим для лагранжиана$\mathscr{L}$Действие

$$S = \int_{\text{all space}}\mathscr{L}d\,\Omega$$

Рассмотрим небольшую вариацию метрического тензора так, чтобы

$$g_{\mu \nu} \mapsto g_{\mu \nu}+S g_{\mu \nu}$$ что, естественно, привело бы к изменению самого действия $S \mapsto S + \delta S$. Принцип действия подразумевает, что $$\delta S = \int_{\text{all space}}\mathscr{L}^{\mu \nu}\delta g_{\mu \nu} d \Omega = 0$$ Где $(2,0)$тензорная плотность веса $1$определяется как $\mathscr{L}^{\mu \nu} = \frac{\delta \mathscr{L}}{\delta g_{\mu \nu}}$.

Применение принципа наименьшего действия, ограниченного гравитационным пространством,

$$S_g = \int_{\text{space}}\mathscr{L}_g\,d \Omega$$ Условие, необходимое для того, чтобы добраться до уравнений поля, состоит в том, что $$\delta \int \mathscr{L} d^4 x=0$$ Единственная скалярная плотность веса $1$с участием метрики и ее производных до второго порядка $\sqrt{-g}R$. Итак, если взять $$\begin{align} \mathscr{L}_g &= \kappa^{-1}\sqrt{-g}R\\ &= \kappa^{-1}\sqrt{-g}g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} \end{align}$$ Затем следует результат.