Как можно прочитать правила Фейнмана по лагранжиану?

Имейте в виду, что почти невозможно объяснить, как пертурбативные вычисления КТП следуют из лагранжианов, так что ответ будет относительно коротким и подробным. Итак, я собираюсь написать вводный ответ. Если вам нужна дополнительная информация о какой-либо его части, вы можете поискать учебники или сообщить мне об этом в комментариях, и в этом случае я рассмотрю возможность обновления этого ответа.

Предположим, что ваша модель имеет$n$квантовые поля (они могут быть организованы как мультиплеты Пуанкаре или все быть скалярами, для дальнейшего это не имеет значения). Таким образом, общее выражение для квадратичного члена в лагранжиане имеет вид

$$\mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \left( K_{ab} \partial_{\mu} \phi^{a} \partial^{\mu} \phi^{b} - M_{ab} \phi^{a} \phi^{b} \right).$$

(На самом деле, если некоторые поля имеют индексы пространства-времени, могут быть дополнительные термины, такие как$N_{\alpha a} \psi_{\mu}^{\alpha} \partial^{\mu}\phi^{a}$, но их можно рассматривать в одном и том же вопросе, поэтому мы не потеряем общности, если просто проигнорируем здесь этот вопрос.)

Сначала мы хотели бы повторно выразить этот лагранжиан, используя интегрирование по частям (помните, что лагранжиан интегрируется по пространству-времени, чтобы дать действие системы, описывающее ее динамику), следующим образом:

$$\mathcal{L}_2 = \frac{1}{2} \phi^{a} \hat{Q}_{a b} \phi^{b},$$

где$\hat{Q}$— линейный дифференциальный оператор второго порядка, действующий на поля. Он называется оператором Эйлера-Лагранжа, потому что он порождает классические уравнения движения через

$$\hat{Q}_{ab} \phi^{b}_{\text{classical}} = 0.$$

Например, для мультиплета полей Клейна-Гордона оказывается

$$\hat{Q}_{ab} = \delta_{ab} \Box + M_{ab},$$

где$M_{ab}$называется массовой матрицей. Основа, в которой$M_{ab}$диагональ является подходящей основой для выражения полей, связанных с элементарными частицами, причем диагональные значения представляют собой квадраты масс элементарных частиц. Оператор Даламбера есть$\Box = \partial_{\mu} \partial^{\mu}$.

В квантовой теории мы хотим вычислить пропагатор или упорядоченное по времени произведение двух операторов поля:

$$\Delta^{ab} (x, y) = \left< \phi^{a}(x) \phi^{b}(y) \right>.$$

Оказывается, пропагатор равен фейнмановской функции Грина дифференциального оператора$\hat{Q}$, который может быть получен в формализме интеграла по путям:

$$\hat{Q}_{ab}(x) \Delta^{bc} (x, y) = i \delta_a^c \delta^{(4)} (x - y).$$

Это то, что подразумевается под правильным обращением с квадратичным членом в лагранжиане.

Здесь стоит упомянуть, что иногда оператор$\hat{Q}_{ab}$является сингулярной , т. е. не имеет обратной в классе функций с радиационными краевыми условиями. Это связано с калибровочной инвариантностью. Простейший случай, когда это проявляется, — это свободный лагранжиан Максвелла.

Современный способ решения этой проблемы — формальное манипулирование интегралами по траекториям, называемое процедурой Фаддеева-Попова, которая вводит в лагранжиан дополнительные члены (член, фиксирующий калибровку, и, возможно, призрачные поля). Полученный лагранжиан по-прежнему применим к той же физической модели (что гарантируется процедурой Фаддеева-Попова), но его дифференциальный оператор не является сингулярным, и пропагатор можно вычислить. Этот пропагатор оказывается нефизическим и зависит от нефизического фиксирующего параметра калибровки, но при его использовании для вычисления элементов S-матрицы между физическими состояниями зависимость от нефизического параметра исчезает и калибровочная инвариантность восстанавливается.

(На самом деле калибровочная инвариантность все еще присутствует в модифицированном лагранжиане в виде БРСТ-суперсимметрии. Не путайте ее с SUSY.)

Теперь рассмотрим возмущение лагранжиана, т. е. член более высокого порядка. Мы имеем дело с такими возмущениями, используя довольно примитивную теорию возмущений. В формализме интеграла по путям это можно сделать, разложив по Тейлору экспоненту лагранжиана взаимодействия и сделав ее частью корреляционного функционала, сохранив квадратичный член в качестве функционала эффективного действия. Затем мы можем применить теорему Вика (которая верна только для квадратичных действий, но это то, что осталось после того, как мы расширили член взаимодействия), и это приведет нас к правилам Фейнмана.

Эта часть обычно одинакова во всех теориях, и окончательные правила Фейнмана можно легко предсказать, просто взглянув на структуру члена взаимодействия в лагранжиане. Вот что подразумевается под «считыванием правил Фейнмана».

Например, рассмотрим одно поле Клейна-Гордона с членом взаимодействия 4-го порядка

$$\mathcal{L}_4 = - \frac{\lambda}{4!} \phi^4.$$

Мы хотели бы разложить его по Тейлору в любом выражении для корреляционной функции любого функционала.$F$:

$$\left< F[\phi] \right> = \int D\phi \exp \left[ i \int (\mathcal{L}_2 + \mathcal{L}_4) \right] F[\phi] =$$

$$\left< F[\phi] \left( 1 + i \int \mathcal{L}_4 + \frac{i^2}{2} \intop_x \intop_y \mathcal{L}_4 (x) \mathcal{L}_4 (y) + \dots \right) \right>_0,$$

где индекс$<>_0$означает, что мы используем действие свободной теории, которое$\int \mathcal{L}_2$, для которых применима теорема Вика.

Каждый интеграл в приведенном выше ряду соответствует добавлению вершины взаимодействия к диаграмме Фейнмана. Выражение для вершины легко вывести: оно равно

$$- \frac{i \lambda}{4!} \int d^4 x,$$

с интегралом по положению вершины. Фактор$4!$также появляется в числителе, потому что мы имеем точно$4!$способы контрактации 4-х операторов в одной точке с 4-мя другими операторами пропагаторами. Таким образом, факторы хорошо компенсируются (собственно, это и было причиной выбора$\lambda$такой, что$4!$входит в знаменатель$\mathcal{L}_4$в первую очередь).

Таким образом, мы могли бы либо сохранить$4!$в вершинном выражении и рассмотрим$4!$различные сокращения, которые появляются после использования теоремы Вика, неэквивалентны, или мы можем считать их эквивалентными и сократить множители$4!$что обычно и делается в литературе.

Надеюсь, это ответит на ваш вопрос.