Фигуры Хладни: избегаются пересечения узловых линий.

Да .

Основная идея заключается в том, что в кажущихся случайными хаотических системах совпадения , соответствующие пересечению узловых линий или пересечению энергетических уровней, обычно маловероятны.

Таким образом, оба эффекта являются результатом неравномерности хаоса и возникают в стохастических описаниях хаотического бильярда:

• волновые функции, моделируемые моделью случайных волн (RWM); а также

• спектры, описываемые статистикой теории случайных матриц (RMT).

Хладни цифры

Ожидая, что эргодические свойства хаотических орбит будут отражаться в их волновых аналогах в неинтегрируемых бильярдах, было высказано предположение [ Берри, 1977 ], что соответствующие фигуры Хладни могут быть смоделированы с помощью подходящего ансамбля гауссовых случайных волн (ОСВ).

В этом стохастическом описании необщая природа узловых пересечений становится особенно актуальной, поскольку теорема Уленбека подразумевает, что пересечения появляются с нулевой вероятностью:

как точка, где пересекаются две узловые линии, волновая функция не только обращается в нуль,$\phi(x,y)=0$, но и его градиент тоже, потому что частные производные равны нулю вдоль каждой узловой линии. Таким образом, одновременно должны быть наложены три условия.$\phi$на узловом перекрестке; но тогда как одно условие определяет строку в$(x,y)$плоскости, а двойное условие определяет изолированную точку, тройное условие, вообще говоря, не может быть выполнено.

Это Гутцвиллер ( ваша ссылка ) очень четкое описание сути теоремы Уленбека.

Недавние обзоры: Джейн и Самайдар (2017) Узловые портреты квантового бильярда: домены, линии и статистика и Нонненмахер (2010) Анатомия квантовых хаотических собственных состояний ( eprint , arXiv ).

Отталкивание уровней энергии

В отличие от обычных систем, многие хаотические квантовые системы не имеют близко расположенных энергетических уровней по сравнению со средним расстоянием. И это остается верным даже при изменении параметров системы, что приводит к так называемому отталкиванию энергетических уровней .

Согласно гипотезе Боигаса–Джаннони–Шмита$^1$, это распределение интервалов между уровнями можно понять в рамках теории случайных матриц , которая утверждает, что сложные (квантовые) системы могут быть описаны матрицами случайных элементов (с соблюдением заданной симметрии).

Копирование из Michael Cross Introduction to Chaos notes , Chapter 29 (pdf) :

Это можно понять с точки зрения хорошо известного явления отталкивания уровней: два энергетических уровня, которые кажутся пересекающимися при изменении параметра, кажутся отталкивающими друг друга, так что пересечения не происходит. Это легко мотивируется$2\times 2$кейс:

$$H = \left[ \begin{matrix} \epsilon & \delta \\ \delta & -\epsilon \end{matrix} \right]$$ где можно ожидать пересечение энергетического уровня для $\epsilon=0$. На самом деле (см. рисунок выше) энергетические уровни равны $E = \pm \sqrt{\epsilon^2+\delta^2}$так что для ненулевого $\delta$уровни остаются друг от друга на расстоянии $\delta$, а для пересечения обоих $\epsilon$а также $\delta$должны быть равны нулю с соответствующей уменьшенной вероятностью для случайных матричных элементов.

Итак, опять же, что касается теоремы Уленбека, в стохастическом описании становится маловероятным, что все условия, необходимые для пересечения (здесь уровней энергии), выполняются одновременно.

$^1$ _{Гипотезе BGS было предложено полуклассическое объяснение.}