Физика твердого тела: когда я использую классические законы?

Для волновой механики есть фазовая скорость и групповая скорость. Для энергии$E~=~\hbar\omega$фазовая скорость

$$v_p~=~\frac{\omega}{k}~=~\frac{\hbar}{2m}(k~+~ck^3).$$ Это скорость фронта волны, или где фаза волны постоянна. Есть еще групповая скорость $$v_g~=~\frac{\partial\omega}{\partial k}~=~\frac{\hbar}{m}(k~+~2ck^3).$$

Классическая идея, предлагаемая в этом вопросе, состоит в том, что$k^2~+~ck^4~=~k'^2$так что

$$p'~=~\hbar k'~=~\hbar k\sqrt{1~+~ck^2}$$ Это другое определение импульса и, следовательно, скорости. Я бы сказал, что лучший подход — записать гамильтониан или энергию в соответствии с $p~=~\hbar k$ $$H~=~\frac{1}{2m}\left(p^2~+~\frac{c}{\hbar^2}p^4\right).$$ Этот гамильтониан является оператором для $p~\rightarrow~-i\partial_x$. Теперь поместите волновую функцию $\psi(x,t)~=~Ae^{-ikx~+~i\omega t}$в уравнении Шредингера, чтобы получить $$H\psi~=~i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}$$ найти $$\hbar\omega~=~\frac{\hbar^2}{2m}\left(k^2~+~ck^4\right),$$ что согласуется с приведенной выше фазовой скоростью.

Если бы вы настаивали на выполнении своего рода классической формы с гамильтонианом выше с$H~=~E$вы придёте к довольно сложному уравнению

$$p^2~=~-\frac{\hbar^2}{2c}\left(1~-~\sqrt{1~+~\frac{8mc}{\hbar^2}E}\right).$$ Это из квадратного уравнения и выбора с $p^2~=~0$в $E~=~0$. Если вы позволите $E~=~\hbar\omega$нетрудно видеть, что это восстанавливает приведенный выше результат с уравнением Шредингера.