Обобщение состояний плотности фононов

Следующие уравнения для плотности состояний применимы во всех (трехмерных) ситуациях:*

См. уравнения Эшкрофта и Мермина 8.57 и 8.63 (и окружающий раздел). Вы в основном цитируете самую правую часть уравнения;$\left|\nabla E\left(\mathbf{k}\right)\right|$пропорциональна групповой скорости:$\mathbf{v}\left(E\right) = \frac{1}{\hbar} \nabla E\left(\mathbf{k}\right)$(уравнение Эшкрофта и Мермина 8.51), что следует из того, что$E = \hbar \omega$.

Однако групповая скорость не постоянна. Скорость Ферми является групповой только для некоторых$\mathbf{k}$--- не для всех$\mathbf{k}$. Итак, если вы хотите использовать уравнение, вам нужно, чтобы групповая скорость была функцией$\mathbf{k}$.

Обратите внимание, что для фононов вы иногда можете аппроксимировать групповую скорость как постоянную, потому что ее закон дисперсии примерно линейный вблизи$\mathbf{k} = 0$. За исключением особых ситуаций (например, графен), блоховские электроны имеют массу, поэтому их закон дисперсии не будет линейным, а их групповая скорость не будет постоянной.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

* Эти уравнения предназначены для электронов, и наиболее распространенным соглашением для электронов является включение дополнительного коэффициента 2, потому что электронные состояния (обычно) двукратно вырождены. Иногда этот фактор вырождения держится отдельно от плотности состояний, потому что вырождение не зафиксировано в камне. Например, вы можете избавиться от него, применив магнитное поле.

Я думал об этом: Плотность состояний =$\left( \left(\frac{L}{2\pi} \right )^3 \int \frac{dS_\omega}{v_g}\right)$с$v_g = \frac{d\epsilon}{dk}$, с$\epsilon = \hbar^2k^2/2m$тогда$v_g = \hbar^2k/2 = \hbar^2/m \sqrt{2\epsilon m /\hbar^2}$и, таким образом, для плотности состояний (с$\int d_S = 4\pi k^2$) я доберусь до$v/2\pi^2 * 2m/\hbar^2 \sqrt{\epsilon}* \sqrt{m/2\epsilon\hbar^2}$. Какой результат без фактора 2 неправильный, есть ли кто-нибудь, кто видит мою ошибку?