Флуктуации нулевой точки гармонического осциллятора

В статье я наткнулся на следующее определение флуктуации нулевой точки нашей любимой игрушки, гармонического осциллятора:

Икс Z п Ф "=" ℏ 2 м Ом
где m - его масса и Ом его собственная частота. Однако, когда я пытаюсь вывести его с помощью простых аргументов, я думаю о равенстве:
Е "=" 1 2 ℏ Ом "=" 1 2 м Ом 2 Икс Z п Ф ²
(используя собственное значение энергии н "=" 0 государство), давая мне:

Икс Z п Ф "=" ℏ м Ом
отличается от предыдущего коэффициентом 2 . Я просто озадачен, дело в условностях или в моем (тоже?) наивном выводе есть фундаментальное заблуждение?

Если вы делаете простые оценки размеров, вы не должны ожидать, что числовые факторы окажутся правильными!
Да, но я пытался сделать больше, чем простой размерный анализ, я записал равенство между энергией вакуума и колебательной энергией гармонического осциллятора с < Икс 2 >= Икс Z п Ф 2 когда я должен был взять < Икс 2 >= 2 Икс Z п Ф 2 и поэтому мой вопрос снова в том, исходит ли это от конвенции или это физически мотивировано?
запись равенства между энергией вакуума и колебательной энергией гармонического осциллятора есть не что иное, как размерный анализ. Я надеюсь, что вы согласитесь со мной, что в принципе вы должны решить уравнение Шредингера, чтобы найти волновую функцию основного состояния! Если вы сделаете это, вы найдете выражение для ⟨ Икс 2 ⟩ со всеми числовыми предфакторами.
Я согласен с Фабианом: вы можете получить любое ожидаемое значение из волновой функции (многочлена Эрмита) для выбранного вами состояния. Кроме того, когда вы использовали 1 2 м Ом 2 Икс г п ф 2 для энергии, вы не проигнорировали кинетический член в гамильтониане?
Да, но равнораспределение говорит о том, что в среднем энергия распределяется между потенциальной и кинетической. Поэтому я должен добавить коэффициент 1/2 перед ним, когда я должен по неизвестной причине добавить коэффициент 2, чтобы получить правильную формулу.
Я думаю, что способ увидеть это таков: когда вы добавляете кинетический термин м в 2 / 2 "=" м ( Ом Икс г п ф ) 2 / 2 к вашей потенциальной энергии, вы получаете то, что хотите.

Ответы (2)

Я думаю, что это сочетание условности и физической проблемы. Вы приравниваете собственное значение энергии (т. е. полную энергию) к выражению, которое содержит только Икс Z п Ф , и не содержит п совсем. Другими словами, вы приравниваете полную энергию к потенциальной энергии. Это было бы аналогично приравниванию Е т о т а л "=" 1 2 к А 2 найти амплитуду А классического гармонического осциллятора. В результате вы используете Икс Z п Ф означать «амплитуду» нулевой флуктуации. Истинный результат, как следует из ответа Ондрея Чернотика , использует среднеквадратичное значение Икс Z п Ф "=" ⟨ Икс ^ 2 ⟩ . Вот в каком смысле это условность.

Смысл, в котором это реальная физическая проблема, заключается в том, что «амплитуда» квантового осциллятора на самом деле не является четко определенной и измеримой вещью. Квантовый осциллятор имеет ненулевую амплитуду вероятности, доходящую до бесконечности. Среднеквадратичное значение четко определено и легко измеряется. Так что это предпочтительное определение.

Вы также можете возразить, что при определении колебаний нулевой точки с точки зрения дисперсии положения значение будет меньше, чем амплитуда. Бьюсь об заклад, вы обнаружите, что дисперсия (или ее квадратный корень) будет точно 2 раз меньше.
@OndřejČernotík, я тоже так думаю. Я знаю, что это верно для классического осциллятора, и я подозреваю, что кто-то может доказать это для квантового осциллятора. Я не был достаточно уверен в этом утверждении, чтобы включить его в свой ответ, но я мог бы добавить его после того, как некоторое время подумаю об этом.

Вы можете найти значение колебаний нулевой точки, просто рассчитав дисперсию ⟨ ( Δ Икс ^ ) 2 ⟩ "=" ⟨ Икс ^ 2 ⟩ в вакуумном состоянии. Вы можете сделать это либо с помощью Икс -представление или выражение Икс ^ оператор, использующий операторы создания и уничтожения. Они обычно вводятся

а ^ "=" м Ом 2 ℏ ( Икс ^ + я п ^ м Ом ) ,
так что вы получите
Икс ^ "=" ℏ 2 м Ом ( а ^ + а ^ † ) .
Используя это для расчета ⟨ Икс ^ 2 ⟩ "=" ⟨ 0 | Икс ^ 2 | 0 ⟩ действительно дает вам
Икс Z п Ф "=" ⟨ Икс ^ 2 ⟩ "=" ℏ 2 м Ом .

Флуктуации нулевой точки гармонического осциллятора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v