Я провожу свой первый семестр по квантовой механике, и мы используем «Введение в квантовую механику» Гриффита. Когда он вводит потенциал дельта-функции Дирака, он объясняет связанные и рассеянные состояния, и я понимаю, что система считается связанной, если энергия системы меньше, чем потенциал на бесконечности, то есть
Это имеет смысл, и затем он продолжает, говоря, что это подразумевает, что для связанных состояний и для состояний рассеяния, так как вы всегда можете добавить константу к потенциальной энергии, чтобы сделать ее равной нулю на бесконечности.
Он также объясняет, почему решение уравнения Шредингера для связанных состояний представляет собой дискретную линейную комбинацию, а решение для состояний рассеяния представляет собой интеграл, который не может быть нормализован и, следовательно, не существует. Затем он продолжает работу с потенциалом дельта-функции Дирака.
Проблема, с которой я столкнулся, состоит в том, как согласовать это с предыдущей главой, в которой он рассматривал гармонический осциллятор — связанную систему — и обнаружил, что уровни энергии равны
что положительно, даже если потенциал стремится к бесконечности в бесконечности. Я полагаю, вы могли бы «вычесть бесконечность» и получить бесконечно отрицательную энергию (и нулевой потенциал в бесконечности), но это в лучшем случае немного странно. Часть 1 вопроса: Это все, что нужно? "Вычесть бесконечность" и тогда второе неравенство ( ) работает?
Часть 2 вопроса: поскольку бесконечные потенциалы являются лишь приближениями и на самом деле не существуют (или существуют?), как вообще могут существовать связанные состояния (Гриффит отмечает, что конечные потенциалы можно преодолеть путем туннелирования)? Кроме того, состояний рассеяния также не существует, поскольку их волновые функции не поддаются нормализации. Таким образом, вывод состоит в том, что в соответствии с квантовой механикой на самом деле ничего не существует... что, конечно же, не может быть правильным?
Различие, которое следует здесь сделать, заключается в том, что для системы квантовых гармонических осцилляторов нет несвязанных состояний , есть только связанные состояния, поэтому нет смысла настаивать на том, что состояния имеют отрицательную энергию, нет причин «вычитать бесконечность», чтобы обнулить потенциал на бесконечности.
Однако в системах, которые допускают как связанные, так и несвязанные состояния, разумно обнулять потенциал на бесконечности по той же причине, по которой мы делаем это классически.
Например, в классической задаче о центральной силе есть состояние, в котором частица может «убежать на бесконечность», где она будет иметь нулевую кинетическую энергию (точнее, кинетическая энергия частицы асимптотически стремится к нулю). Если мы приравняем потенциальную энергию к нулю на бесконечности, то полная энергия «на бесконечности» будет равна нулю. Таким образом, частица с нулевой полной энергией «сидит на границе» между теми частицами, энергии которых недостаточно, чтобы «достичь» бесконечности, и теми, которым это удается.
Но для классического потенциала гармонического осциллятора ни одна частица не может уйти в бесконечность. Кинетическая энергия частицы периодически и мгновенно будет равна нулю. В этом случае разумно, чтобы состояние, в котором полная энергия всегда равна потенциальной энергии (состояние, в котором кинетическая энергия всегда равна нулю), было состоянием с нулевой полной энергией; все остальные состояния имеют положительную полную энергию.
Таким образом, вывод состоит в том, что в соответствии с квантовой механикой на самом деле ничего не существует... что, конечно же, не может быть правильным?
Это далеко не правильный вывод. Вместо этого можно сделать вывод, что
(1) Концепция связанного состояния должна быть изменена при переходе от классической механики к квантовой механике и
(2) физические (нормируемые) несвязанные состояния не являются собственными состояниями гамильтониана, т. е. физические несвязанные состояния не являются состояниями с определенной энергией, а представляют собой распределение собственных состояний по энергии, например волновой пакет.
Часть 1. По сути вы правы. Вы можете думать об этом как о вычитании бесконечности из энергии. Лучший способ увидеть это состоит в том, что соглашение о том, что ноль энергии должен соответствовать потенциалу на бесконечности, всегда было произвольным выбором. Обычно это очень разумное соглашение, но если потенциал расходится на бесконечность, как в случае гармонического осциллятора, очевидно, что другой выбор был бы лучше. На практике мы обычно используем гармонические осцилляторы в качестве аппроксимации более сложных потенциалов, которые не расходятся, и это часто работает довольно хорошо, поскольку мы все равно требуем, чтобы волновая функция стремилась к нулю на бесконечности.
Часть 2 Связанные состояния определяются как состояния с более низкой энергией, чем свободная частица в данном потенциале. Частица не может перейти из связанного состояния в непрерывное состояние без подвода энергии. Если бы у меня был изолированный атом водорода, электрон не мог бы спонтанно покинуть протон, потому что это увеличило бы его энергию.
Квантовое туннелирование происходит, когда есть две области с низким потенциалом, разделенные областью с высоким потенциалом, куда частице было бы запрещено проникать в классическом понимании. Это может быть пара потенциальных ям или две области свободного пространства, разделенные потенциальным барьером (именно это имел в виду Гриффит). Так, например, если у меня есть атом водорода и я приближаю к нему другой протон, электрон может туннелировать из одного протона к другому, хотя он не мог стать свободной частицей и, следовательно, не мог покинуть атом, с которым он был связан. Обычно в таких ситуациях с несколькими потенциальными ямами происходит то, что в стационарных состояниях частица находится в суперпозиции, находясь в обеих ямах. Это происходит при образовании ковалентной связи.
Джессика Хансен