Вырождение состояний в смешанной бесконечной квадратной яме, гармонический осциллятор

Кажется , это кричит о подходе разделения переменных . В дополнение к этим ссылкам вы можете найти его в любой книге по математическим методам в физике или в любой достаточно продвинутой книге по дифференциальным уравнениям.

Короткая версия заключается в том, что вы будете писать решение по частям, которые зависят только от независимых битов.

$$\Psi(x,y,z) = W(x,y) Z(z)$$

и после применения частных производных вы обнаружите, что у вас есть два гораздо более простых уравнения для работы.

Гамильтониан

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2 + V(\vec{r}) = \sum_{j=1}^3 H_{x^j},$$

с потенциалом

$$V(\vec{r}) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z),$$

где

$$V_x(x)= \left\{\begin{array}{ccc} 0 &\mathrm{for}& |x|<\frac{L}{2} \\ \infty &\mathrm{for}& |x|\geq \frac{L}{2}\end{array}\right\},$$ $$V_y(y)= \left\{\begin{array}{ccc} 0 &\mathrm{for}& |y|<\frac{L}{2} \\ \infty &\mathrm{for}& |y|\geq \frac{L}{2}\end{array}\right\},$$ $$V_z(z)= \frac{m\omega^2}{2}z^2.$$

Обратите внимание, что

$$H_{x^j}=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_{x^j} + V_{x^j}(x^j)$$

зависит только от одной координаты$x^j$, где$j=1,2,3$. Таким образом, мы можем использовать разделение переменных, как предложил dmckee, и сначала решить не зависящее от времени уравнение Шредингера для трех хорошо известных одномерных задач. Нетрудно заметить, что трехмерные энергетические уровни$E_{\vec{n}}$становится суммой уровней энергии 1D,

$$E_{\vec{n}} = E_{xy}(n^2_x+n^2_y)+E_z(n_z+\frac{1}{2}),$$

где состояния помечены тремя целыми числами$\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$с

$$n_x\geq 1,\qquad n_y\geq 1,\qquad \mathrm{and}\qquad n_z\geq 0,$$

и

$$E_{xy}:= \frac{1}{8m} \left(\frac{h}{L}\right)^2 \qquad \mathrm{and}\qquad E_z :=\hbar\omega=hf$$

две константы.

Обратите внимание, что на единицу объема в$\vec{n}$космос. Для достаточно большой энергии$E$, где$E\gg E_{xy}$и$E\gg E_z$, нулевая энергия$\frac{1}{2}E_z$и некоторые другие дискретные признаки становятся несущественными, и мы можем аппроксимировать общее число$N(E_{\vec{n}}\leq E)$государств$\vec{n}$с энергией$E_{\vec{n}}\leq E$на объем (четверть) параболоида конечной высоты следующим образом.

$$N(E_{\vec{n}}\leq E) \approx\mathrm{Volume}\left\{(n_x,n_y,n_z) \in \mathbb{R}^3_+\mid E_{xy}(n^2_x+n^2_y)+E_z n_z \leq E \right\}$$ $$= \int_0^{\frac{E}{E_z}} dn_z \ \mathrm{Area}\left\{(n_x,n_y) \in \mathbb{R}^2_+\mid n^2_x+n^2_y\leq \frac{E - E_z n_z}{E_{xy}}\right\}$$ $$= \int_0^{\frac{E}{E_z}} dn_z \ \frac{\pi}{4} \frac{E - E_z n_z}{E_{xy}} = \frac{\pi}{4E_{xy}} \left[E n_z - E_z \frac{n_z^2}{2} \right]^{n_z=\frac{E}{E_z}}_{n_z=0} = \frac{\pi}{8} \frac{E^2}{E_{xy}E_z},$$ где мы использовали, что площадь четверти диска с радиусом $r$является $\frac{1}{4}\pi r^2$. Таким образом, плотность состояний $g(E)$энергия $E$тогда приблизительно

$$g(E) = \frac{dN(E_{\vec{n}}\leq E)}{dE} \approx \frac{\pi}{4} \frac{E}{E_{xy}E_z}=g_0 E,$$

где

$$g_0 = \frac{\pi}{4E_{xy}E_z} =\frac{2\pi m L^2}{h^3f}$$

является константой.