Формула уменьшения LSZ для свободных полей

Question

Формула уменьшения LSZ для свободных полей

Физика
гильбертово пространство
s-матричная теория
квантовая теория поля
корреляционные функции

Крис Уокер

Я читаю раздел о формуле сокращения LSZ в книге Шварца QFT, и он говорит о действии свободных полей в формуле. В частности, он говорит (раздел 6.1.1, стр. 73):

Сокращение LSZ говорит, что для вычисления элемента S-матрицы умножьте упорядоченное по времени произведение полей на некоторое $\square + m^2$ факторы и преобразование Фурье. Если поля $\phi(x)$ были бы свободными полями, они удовлетворили бы $(\square + m^2)\phi(x)=0$ и так $(\square_i + m^2)$ условия дали бы ноль. Однако, как мы увидим, при вычислении амплитуд будут множители пропагаторов $\frac{1}{\square + m^2}$ для одночастичных состояний. Эти взрываются, как $(\square + m^2)\rightarrow 0$ . Формула LSZ гарантирует, что нули и бесконечности в этих терминах сокращаются, оставляя ненулевой результат.

Он говорит о $\square+m^2$ термины, дающие ноль, как будто это плохо, но разве это не то, чего мы хотим? Если поля являются свободными, то $S$ -matrix будет просто тождеством, поэтому матричный элемент исчезнет,

⟨ ф | С | я ⟩ "=" ⟨ ф | я ⟩ "=" 0,

$\langle f|S|i\rangle=\langle f|i\rangle=0,$ для различных начальных и конечных асимптотических состояний. Так почему же мы хотим, чтобы эти члены в формуле LSZ были ненулевыми для свободных полей?

Для справки, форма формулы LSZ, на которую ссылается Шварц, такова:

⟨ ф | С | я ⟩ "=" [я \int д^{4} {Икс}_{1} е^{- я п_{1} {Икс}_{1}} (◻_{1} + м^{2})] \dots [я \int д^{4} {Икс}_{н} е^{я п_{н} {Икс}_{н}} (◻_{н} + м^{2})] ⟨ Ом | Т {ф ({Икс}_{1}) \dots ф ({Икс}_{н})} | Ом ⟩ .

$\langle f|S|i\rangle=\left[i\int\mathrm{d}^4x_1\,e^{-ip_1x_1}(\square_1+m^2)\right]\cdots\left[i\int\mathrm{d}^4x_n\,e^{ip_nx_n}(\square_n+m^2)\right]\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\}|\Omega\rangle.$

Ответы (1)

Формула уменьшения LSZ для свободных полей

jkb1603 · Answer 1

Если S-матрица равна нулю (или фактически $1$ , с $S = 1 + iT$ , поэтому правильнее было бы сказать «если Т-матрица равна нулю»), тогда эквивалентность соответствующей теории не взаимодействует. Однако, если вы включаете взаимодействие, вы ожидаете некоторого рассеяния, наблюдаемого, скажем, в коллайдере частиц, т.е. вы ожидаете, что $T$ -matrix иметь некоторый ненулевой матричный элемент.
Чтобы уточнить: формула LSZ дает ноль для теории свободного поля, но как только вы включаете взаимодействие, это уже не так, поля $\phi$ в вашей функции зелени $\langle \Omega |T\phi(x_1)...\phi(x_n) |\Omega \rangle$ тогда не являются свободными полями. На самом деле эти функции Грина расходятся через простой полюс в физическом пределе на оболочке. $p^2 \rightarrow m^2$ (или эквивалентно $\Box^2 + m^2 \rightarrow 0$ в пространстве позиций), и эти полюса точно сокращаются в формуле, оставляя только коэффициент тех полюсов, который является вашей амплитудой рассеяния.

Правильно, я понимаю, почему для взаимодействующей теории формула ЛСЗ даст ненулевой матричный элемент. Меня смущает то, почему Шварц утверждает, что оно все еще не равно нулю для свободного поля (из-за всплывающих условий пропагатора), когда оно должно, как вы сказали, давать ноль.
Извините, я не вижу, где указано, что для свободных полей должно быть ненулевое значение? Он прямо говорит в вашей цитате, что матрица будет обращаться в нуль по уравнениям движения в свободном случае, не так ли?
Ну, если я правильно понимаю, он говорит, что свободные поля обычно дают $(\square_i+m^2)\phi(x)=0$ , однако $\frac{1}{\square_i+m^2}$ члены появляются во время вычислений, которые взрываются и «отменяют» указанные нули, давая в конце ненулевой результат.
О, я думаю, он имеет в виду, что эти термины всплывают только для случая взаимодействия.
Ну дерьмо, ха-ха, если это так, то я только что потратил много времени, ломая голову над этим. Хотя зачем нули во взаимодействующем случае? Будут ли они просто соответствовать асимптотическим состояниям?
Что вы подразумеваете под нулями во взаимодействующем случае?
Я имею в виду нули, на которые он ссылается в последнем предложении: «Формула LSZ гарантирует, что нули и бесконечности в этих терминах сокращаются, оставляя ненулевой результат».
Ах. Вы, наверное, знаете, что бесконечности - это термины $\frac{1}{p^2-m^2}$ которые появляются в импульсном пространстве. Функция Грина для каждой внешней ветви ( $\frac{1}{\Box + m^2}$ в поз. пространство), где $m$ - физическая масса частицы, они расходятся в пределе на оболочке $p^2 \rightarrow m^2$ . Я думаю, что нули относятся к терминам $p^2 - m^2$ (или $\Box + m^2$ в поз. пространство) в формуле LSZ. Другими словами, бесконечности находятся в функции Грина, а нули - в предфакторе, который умножает функцию Грина в формуле LSZ, и они компенсируют друг друга, давая конечный результат.

Формула уменьшения LSZ для свободных полей

Крис Уокер

Ответы (1)

jkb1603

Крис Уокер

jkb1603

Крис Уокер

jkb1603

Крис Уокер

jkb1603

Крис Уокер

jkb1603

Интерпретация квантового поля

Почему константы перенормировки одинаковы в LSZ и перенормировке?

Какой смысл вводить производящий функционал в слагаемые разложения S-матрицы?

Каковы асимптотические собственные состояния импульса? Одетые кванты или кванты свободной теории?

Как взаимодействующий вакуум |Ω⟩|Ω⟩|\Omega \rangle входит в теорию?

Оператор временного заказа в Средницком

Значение формулы сокращения LSZ

Контактные члены в уравнении Дайсона-Швингера можно игнорировать?

Проблема понимания обозначения амплитуды рассеяния