Проблема понимания обозначения амплитуды рассеяния

Уравнение Шрёдингера:

$$i \frac{d}{d t}\left|\psi_{t}\right\rangle=H\left|\psi_{t}\right\rangle$$ и решения даны
$$\left|\psi_{t}\right\rangle=U(t)|\psi_\text{in}\rangle \equiv e^{-\imath H t}|\psi_\text{in}\rangle$$

В эксперименте по рассеянию нас интересует решение со следующим асимптотическим условием

$$\begin{gathered} U(t)|\psi\rangle \underset{t \rightarrow-\infty}{\longrightarrow} U^{0}(t)\left|\alpha\right\rangle \\ \qquad \qquad \underset{t \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} U^{0}(t)\left|\beta\right\rangle \end{gathered}$$ где$U^0(t)=e^{-\imath H_0 t}$с$H_0$гамильтониан свободной теории.

Из выражения выше мы можем показать, что

$$|\psi_\text{in}\rangle=\lim _{t \rightarrow-\infty} U(t)^{\dagger} U^{0}(t)\left|\alpha\right\rangle \equiv \Omega_{-}\left|\alpha \right\rangle$$ и $$|\psi_\text{in}\rangle=\lim _{t \rightarrow+\infty} U(t)^{\dagger} U^{0}(t)\left|\beta\right\rangle \equiv \Omega_{+}\left|\beta\right\rangle$$

Нас интересует вероятность того, что частица, вступившая в столкновение с асимптотой$|\phi\rangle$будет наблюдаться появление без асимптоты$|\chi\rangle .$Для оценки этой вероятности заметим, что фактическое состояние при$t=0$, который будет эволюционировать из асимптоты$|\phi\rangle$является$|\phi_\text{in}\rangle=\Omega_{-}|\phi\rangle$, а фактическое состояние при$t=0$, которая эволюционировала бы в выходную асимптоту$|\chi\rangle$является$|\chi_ \text{out} \rangle=\Omega_{+}|\chi\rangle .$

Эта вероятность определяется выражением

$$\begin{aligned} w(\chi \leftarrow \phi) &=|\langle\chi(t) \mid \phi(t)\rangle|^{2} \\ &=|\langle\chi_\text{out}\mid \phi_\text{in}\rangle|^{2} \\ &=\left|\left\langle\chi\left|\Omega_{-}^{\dagger} \Omega_{+}\right| \phi\right\rangle\right|^{2} \\ &=|\langle\chi|S| \phi\rangle|^{2} \end{aligned}$$

Теперь в этих заметках по квантовой теории поля Марка Средненицкого на странице 51 говорится, что Амплитуда рассеяния из начального состояния$\mid i\rangle$до конечного состояния$\mid f\rangle$дан кем-то

$$\langle f \mid i\rangle=\left\langle 0\left|a_{1^{\prime}}(+\infty) a_{2^{\prime}}(+\infty) a_{1}^{\dagger}(-\infty) a_{2}^{\dagger}(-\infty)\right| 0\right\rangle \tag{5.13}$$

Из выражения$(5.13)$например, если начальное состояние ортогонально конечному состоянию, то амплитуда рассеяния равна нулю.

Мой вопрос заключается в том, не должна ли эта амплитуда рассеяния даваться выражением$\langle f \mid S\mid i\rangle$где$S$это$S$матрица?