Какое обратное выражение −(∂2+m2)−(∂2+m2)−(\partial^2 + m^2) следует использовать в интеграле по путям?

Функционал разбиения для свободного скалярного поля равен

$$Z=\int D\varphi e^{i\int d^4x[-\frac{1}{2}\varphi (\partial^2+m^2)\varphi+J\varphi]}.\tag{1}$$ Чтобы вычислить этот функциональный интеграл, мы обычно сравниваем его с дискретным случаем $$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty} dq_1 dq_2...dq_N e^{(i/2)q\cdot A\cdot q+iJ\cdot q}=\left(\frac{(2\pi i)^N}{\det[A]}\right)^{\frac{1}{2}} e^{-(i/2)J\cdot A^{-1}\cdot J},$$ где $A^{-1}$является обратной матрицей $A$. Теперь по аналогии мы обычно принимаем результат уравнения (1) как $$Z=\mathcal{C}e^{-(1/2)\int\int d^4x d^4y J(x)D(x-y)J(y)},\tag{2}$$ где $D(x-y)$называется обратным оператору $-(\partial^2+m^2)$(думаю должно быть $-(\partial_x^2+m^2)\delta(x-y)$в более строгом смысле). А именно, $$\int d^4y -(\partial_x^2+m^2)\delta(x-y)D(y-z)=-(\partial_x^2+m^2)D(x-z)=\delta(x-z),\tag{3}$$ аналог $A^i_j{A^{-1}}^j_k=\delta^i_k$в дискретном случае.

Но теперь у меня есть вопрос. Поскольку не существует единственного обратного оператора$-(\partial_x^2+m^2)\delta(x-y)$(напомним, что нам нужны дополнительные граничные условия, чтобы получить конкретное решение уравнения (3), см. мой другой вопрос здесь ), то какая функция Грина$D(x-y)$следует использовать в уравнении (2)?

А какой физический смысл в том, что мы выбираем функцию Грина

$$D(x-y)=\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}\frac{e^{ik(x-y)}}{k^2-m^2},\tag{4}$$ где я пренебрегаю $i\epsilon$? Видимо, мы в принципе можем добавить любую функцию $g(x-y)$к уравнению (4) при условии $$-(\partial_x^2+m^2)g(x-z)=0.$$