Фракционирование и структура группы вращения спина?

Question

Фракционирование и структура группы вращения спина?

Физика
теория групп
квантовый спин
конденсированное вещество
топологический порядок
возникающие свойства

Кай Ли

Как мы знаем, явления фракционирования в физике конденсированных сред фантастичны, как и дробный спин, дробный заряд, дробная статистика... И один ключевой момент заключается в том, что квазичастицы должны создаваться или уничтожаться парами .

С другой стороны, рассмотрим группы $SU(2)$ и $SO(3)$ , они представляют собой группы вращения для полуцелых и целых спинов соответственно. И мы знаем, что $SU(2)/\mathbb{Z}_2=SO(3)$ , что означает, что каждый элемент в $SO(3)$ можно рассматривать как одну пару $(U,-U)$ , где $U\in SU(2)$ (иначе говоря: смежный класс $\left\{U, -U\right\} \subset SU(2)$ в факторгруппе $SU(2)/\mathbb{Z}_2$ наш элемент в $SO(3)$ ).

Поэтому мне интересно, существует ли какая-либо основная связь между парной природой квазичастиц в топологической фазе со стороны физики и парной структурой, относящейся к $SU(2)$ и $SO(3)$ в сторону математики?

Большое спасибо.

Селена Рутли

Уважаемый K-boy: Я добавил фразу о классе

{U, - U}

$\left\{U, -U\right\}$ - просто еще один способ сказать "одна пара в SU(2)", который некоторым читателям может показаться немного бестолковым. Теоретики групп, скорее всего, поймут, о чем вы говорите, но изложение этого может сделать его более понятным для остальных из нас. Удалите его, если вы чувствуете, что он меняет смысл, но хорошо, если более широкая аудитория может понять вопрос, даже если они не могут на него ответить.

Эверетт Ю

Упомянутое вами явление называется "фракционированием симметрии" ( arxiv.org/abs/1012.4470 ), т.е. симметрия системы

S O (3)

$SO(3)$ , но квазичастица обладает дробной симметрией (или проективным представлением)

S U (2)

$SU(2)$ . Это явление принадлежит топологическому порядку, обогащенному симметрией (SET), классифицируемому (частично) групповыми когомологиями.

H^{2} (S O (3), Z_{2}) = Z_{2}

$H^2(SO(3),\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2$ , что означает, что нетривиальные квазичастицы можно тривиализировать попарно.

Кай Ли

@ Everett Спасибо за ваш комментарий. А как насчет фазы AKLT для цепочки spin-1? Это топологическая фаза с защитой симметрии, и является ли она также фазой SET?

Эверетт Ю

@ K-boy Да, физика очень похожа на цепочку AKLT (а цепочка AKLT - это SPT, а не фаза SET). Но когда вы говорите о «фракционировании», вы имеете в виду, что что-то разбивается на части, и его части должны быть ДЕКОНФИНИРОВАНЫ. В цепочке AKLT объекты со спином 1/2 ограничены (поскольку калибровочная теория 1+1D всегда ограничивает) концом цепочки и не могут свободно перемещаться в системе. Более того, если замкнуть цепочку AKLT, то возбуждений со спином 1/2 в объеме фактически не существует. Таким образом, кажется, что вы разбиваете спин-1 на спин-1/2, но затем они возвращаются к спину-1, и мы не должны называть это фракционированием.

Эверетт Ю

@ K-boy Таким образом, «фракционирование симметрии» на самом деле означает, что вы можете не только разбить спин-1 на спин-1/2, но и возбуждения со спином-1/2 определены в массе. Только в этом случае мы называем это «удачной» фракционированием. И такой сценарий может быть достигнут только в измерениях 2+1D или выше. В 2+1D Яо, Фу и Ци (arxiv.org/abs/1012.4470) сконструировали петлевое жидкое состояние AKLT с точными разрешимыми моделями. В этом состоянии в системе со спином 1 возникают деконфайнментированные возбуждения со спином 1/2, и

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ топо. порядок сосуществует с дроблением. Так что на самом деле это фаза SET.

Эверетт Ю

@ K-boy На самом деле вся «успешная» фракционализация должна сопровождаться топологическим порядком, иначе вы не сможете оценить нефизические степени свободы, возникающие при фракционировании. Тогда нетрудно понять, почему фракционирование симметрии на самом деле является SET.

Ответы (1)

Фракционирование и структура группы вращения спина?

Уважаемый K-boy: Я добавил фразу о классе $\left\{U, -U\right\}$ - просто еще один способ сказать "одна пара в SU(2)", который некоторым читателям может показаться немного бестолковым. Теоретики групп, скорее всего, поймут, о чем вы говорите, но изложение этого может сделать его более понятным для остальных из нас. Удалите его, если вы чувствуете, что он меняет смысл, но хорошо, если более широкая аудитория может понять вопрос, даже если они не могут на него ответить.
Упомянутое вами явление называется "фракционированием симметрии" ( arxiv.org/abs/1012.4470 ), т.е. симметрия системы $SO(3)$ , но квазичастица обладает дробной симметрией (или проективным представлением) $SU(2)$ . Это явление принадлежит топологическому порядку, обогащенному симметрией (SET), классифицируемому (частично) групповыми когомологиями. $H^2(SO(3),\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2$ , что означает, что нетривиальные квазичастицы можно тривиализировать попарно.
@ Everett Спасибо за ваш комментарий. А как насчет фазы AKLT для цепочки spin-1? Это топологическая фаза с защитой симметрии, и является ли она также фазой SET?
@ K-boy Да, физика очень похожа на цепочку AKLT (а цепочка AKLT - это SPT, а не фаза SET). Но когда вы говорите о «фракционировании», вы имеете в виду, что что-то разбивается на части, и его части должны быть ДЕКОНФИНИРОВАНЫ. В цепочке AKLT объекты со спином 1/2 ограничены (поскольку калибровочная теория 1+1D всегда ограничивает) концом цепочки и не могут свободно перемещаться в системе. Более того, если замкнуть цепочку AKLT, то возбуждений со спином 1/2 в объеме фактически не существует. Таким образом, кажется, что вы разбиваете спин-1 на спин-1/2, но затем они возвращаются к спину-1, и мы не должны называть это фракционированием.
@ K-boy Таким образом, «фракционирование симметрии» на самом деле означает, что вы можете не только разбить спин-1 на спин-1/2, но и возбуждения со спином-1/2 определены в массе. Только в этом случае мы называем это «удачной» фракционированием. И такой сценарий может быть достигнут только в измерениях 2+1D или выше. В 2+1D Яо, Фу и Ци (arxiv.org/abs/1012.4470) сконструировали петлевое жидкое состояние AKLT с точными разрешимыми моделями. В этом состоянии в системе со спином 1 возникают деконфайнментированные возбуждения со спином 1/2, и $\mathbb{Z}_2$ топо. порядок сосуществует с дроблением. Так что на самом деле это фаза SET.
@ K-boy На самом деле вся «успешная» фракционализация должна сопровождаться топологическим порядком, иначе вы не сможете оценить нефизические степени свободы, возникающие при фракционировании. Тогда нетрудно понять, почему фракционирование симметрии на самом деле является SET.

Давид Бар Моше · Answer 1

Группа вращений $N$ -мерное пространство $SO(N)$ . Будучи симметрией природы, классические системы трансформируются в соответствии с представлениями $SO(N)$ .

Квантовая механика, с другой стороны, допускает системы, которые преобразуются в соответствии с универсальными накрывающими группами классических симметрий. По этой причине мы получаем в трехмерной квантовой теории представления $SU(2)$ которые не являются истинными представлениями $SO(3)$ , (представления полуцелого спина). В более общем смысле, в квантовой теории у нас есть представления $Spin(N) = SO(N) \ltimes \mathbb{Z}_2$ .

Однако в случае двух пространственных измерений $SO(2) \cong U(1)$ , и универсальное покрытие $U(1)$ не является $Spin(2)$ скорее $\mathbb{R}$ .

В отличие от $SO(2)$ или $U(1)$ которые допускают дискретные значения двумерного спина: $u = e^{i n \theta}$ $n \in \mathbb{Z}$ , $0\le \theta <2 \pi$ , универсальное покрытие $\mathbb{R}$ допускает континуум значений спина.

Это основная причина фракционирования спина в двух измерениях.

Фракционирование и структура группы вращения спина?

Кай Ли

Селена Рутли

Эверетт Ю

Кай Ли

Эверетт Ю

Эверетт Ю

Эверетт Ю

Ответы (1)

Давид Бар Моше

Может ли состояние невырожденного фермионного топологического изолятора Мотта (TMI) поддерживать эмерджентный бозонный топологический порядок?

Является ли спин-вращательная симметрия модели Китаева D2D2D_2 или Q8Q8Q_8?

Группа симметрии и представление частицы со спином NNN

В чем разница между псевдоспином и спином?

Может ли кто-либо появиться из импульсного пространства, отличного от пространственных измерений?

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Что означает «деконфайнментальная квантовая критическая точка»?

Что такое состояние резонирующей валентной связи (RVB)?

Отличается ли классификация (защищенного симметрии) топологического порядка для трехполосных моделей от двухполосных?

Наивный вопрос о топологически упорядоченной волновой функции?