Функциональная форма лоренц-инвариантных функций

Я набрасываю доказательство эквивариантной функции$f$который является векторнозначным и для причинных векторов$p$, предполагая лишь непрерывность$f$на последнем шаге, чтобы расширить результат от времениподобных векторов до светоподобных векторов.

Я полагаю, что доказательство может быть завершено, и случай эквивариантного симметричного тензора может быть рассмотрен аналогично.

Учитывать$f(\Lambda p) = \Lambda f(p)$где$f$является векторным значением, как я сказал. Определять

$$G^\mu(p) := f^\mu(p) - \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Очевидно $$p_\mu G^\mu(p) = 0 \quad \forall p\:. \tag{1}$$ С другой стороны, по построению $$G(\Lambda p) = \Lambda G(p)\tag{2}$$ Теперь предположим, что $k= (c,0,0,0)$с $c \neq 0$и разреши $R \in O(3)$быть любым пространственным $3$-выход вращения $k$зафиксированный. Это должно быть $$RG(k) = G(Rk)= G(k)$$ как следствие вектор $G(k)$параллельно $k$(с $O(3)$допускает только $0$неподвижной точкой), так что для некоторого действительного $a_k$, $$G(k) = a_k k\:.$$ Если $p$находится в будущем или прошлом световом конусе, есть $\Lambda \in SO(1,3)$с $p= \Lambda k$для некоторых $c$. Таким образом $$G(p) = G(\Lambda k)= \Lambda G(k) = \Lambda a_k k = a_k p$$ и с тех пор $p^2 \neq 0$, (1) следует $a_k=0$так что $G(p)=0$если $p$времяподобный вектор. У нас наконец есть это $$f^\mu(p) = \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2} p^\mu\:.$$ Мы можем определить $$\alpha(p^2) := \frac{p_\nu f^\nu(p)}{p^2}$$ так как правая часть зависит только от $p^2$ввиду $\Lambda f(p)= f(\Lambda p)$. Подводя итог, по крайней мере, для времениподобных векторов $p$и включая светоподобные векторы, предполагающие $f$непрерывный, $$f_\mu(p) =\alpha(p^2) p_\mu \:.$$

Важные моменты заключаются в том, что (а)$O(3) \subset O(1,3)$, что (б)$O(3)$не имеет ненулевых неподвижных точек, и что (c)$O(1,3)$действует транзитивно на набор времениподобных векторов фиксированной длины.