Что именно означает, что скалярная функция является лоренц-инвариантной?

Question

Что именно означает, что скалярная функция является лоренц-инвариантной?

QuantumEyedea

Если у меня есть функция $\ f(x)$ , что означает его инвариантность по Лоренцу? Я считаю, что это $\ f( \Lambda^{-1}x ) = f(x)$ , но я думаю, что я что-то упускаю здесь.

Кроме того, если $g(x,y)$ является лоренц-инвариантным, означает ли это, что $g(\Lambda^{-1}x,\Lambda^{-1}y)=g(x,y)$ ?

$\$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Позвольте мне объяснить источник моего замешательства .... Я просматривал ресурсы в Интернете, где говорится, что определение должно быть $\phi^{\prime}(x^{\prime})=\phi(x)$ . Но $\phi^{\prime}(x)=\phi(\Lambda^{-1}x)$ при преобразовании Лоренца $x^{\prime}=\Lambda x$ . Итак, я получаю:

$\phi^{\prime}(x^{\prime})=\phi(\Lambda^{-1}x^{\prime})=\phi(\Lambda^{-1}\Lambda x)=\phi(x)$

Это кажется совершенно тривиальным и не похоже на условие, которое мне нужно было бы проверять в каждом конкретном случае.

пользователь12029

Идея состоит в том, чтобы различать скаляры и такие функции, как плотность. Если

ρ (x)

$\rho(x)$ — плотность, которая изменится при преобразовании Лоренца! (Здесь намек на то, что rho «действительно» является компонентом тензора энергии-импульса. Тем не менее, понятие «тензорных плотностей», которые ведут себя таким образом, используется в «Классической теории поля» Ландау ближе к концу общей теории относительности, если Я правильно помню)

Космас Захос

Итак, вы видели, как

ϕ^{'} (x) \neq ϕ (x)

$\phi '(x) \neq \phi (x)$ . Вычислите разницу. Теперь проверьте плоскую волну,

e^{i k \cdot x}

$e^{i k\cdot x}$ и вычислить разницу.

Ответы (2)

Что именно означает, что скалярная функция является лоренц-инвариантной?

Идея состоит в том, чтобы различать скаляры и такие функции, как плотность. Если $\rho(x)$ — плотность, которая изменится при преобразовании Лоренца! (Здесь намек на то, что rho «действительно» является компонентом тензора энергии-импульса. Тем не менее, понятие «тензорных плотностей», которые ведут себя таким образом, используется в «Классической теории поля» Ландау ближе к концу общей теории относительности, если Я правильно помню)
Итак, вы видели, как $\phi '(x) \neq \phi (x)$ . Вычислите разницу. Теперь проверьте плоскую волну, $e^{i k\cdot x}$ и вычислить разницу.

пользователь 20250 · Answer 1

Это может выглядеть тривиально, но так оно и есть.

Скаляр Лоренца - это элемент 0-мерного векторного пространства, рассматриваемого как пространство представления тривиального $(0,0)$ Представление группы Лоренца. Другими словами, скаляр $s$ трансформируется тривиально:

с \to с^{'} знак равно с

$s \rightarrow s' = s$

Вектор Лоренца - это элемент 4-мерного векторного пространства, рассматриваемого как пространство представления стандартного $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ Представление группы Лоренца. Другими словами, вектор $\mathbf{v}$ трансформируется как:

в \to в^{'} знак равно Λ в

$\mathbf{v} \rightarrow \mathbf{v}' = \mathbf{\Lambda} \mathbf{v}$

$\mathbf{\Lambda}$ — матрица преобразования Лоренца.

Скалярная функция , такая как $\phi(\mathbf{x})$ отображает вектор Лоренца в скаляр Лоренца, т.е.

Икс \mapsto ф (Икс)

$\mathbf{x} \mapsto \phi(\mathbf{x})$

Следовательно, он превращается в

Λ Икс \mapsto ф^{'} (Λ Икс) знак равно ф (Икс)

$\mathbf{\Lambda x} \mapsto \phi'(\mathbf{\Lambda x}) = \phi(\mathbf{x})$

Следовательно,

ф^{'} (Икс) знак равно ф (Λ^{- 1} Икс)

$\phi' (\mathbf{x}) = \phi (\mathbf{\Lambda^{-1} x})$ Верно,

ф^{'} ({Икс}^{'}) знак равно ф (Λ^{- 1} Λ Икс) знак равно ф (Икс)

$\phi' (\mathbf{x'}) = \phi (\mathbf{\Lambda^{-1} \Lambda x}) = \phi (\mathbf{x})$

Как насчет констант, которые появляются в $\phi(x)$ , они тоже трансформируются соответственно?

рульскер · Answer 2

Вы также можете думать о скаляре таким образом: это функция $F$ который отображает точки пространства-времени в числа.

Так что если $q$ точка в пространстве-времени, представитель $F$ относительно системы координат $q \rightarrow x(p)$ это, скажем, $f$ , определяется $f(x(q)) = F(q)$ . Если у нас есть вторая система координат $x' = \Lambda \cdot x$ , то представитель $F$ относительно новой системы координат $f'(x'(q)) = F(q)$ , так $f'(\Lambda \cdot x(q)) = f(x(q))$ или же $f'\circ \Lambda = f$ или, наконец, $f' = f \circ \Lambda^{-1}$ .

Дело в том, что пока $F$ не зависит от какой-либо системы координат, его представители в разных системах координат должны быть связаны таким образом, поскольку все они привязаны к одной и той же $F$ .

Это лучший способ, который я когда-либо видел.

Что именно означает, что скалярная функция является лоренц-инвариантной?

QuantumEyedea

пользователь12029

Космас Захос

Ответы (2)

пользователь 20250

Тера

рульскер

QuantumEyedea

Каково определение инвариантности относительно преобразования Лоренца?

Почему скалярное произведение двух четырехвекторов лоренц-инвариантно?

Как убедиться, что закон инвариантен относительно преобразования Лоренца?

Преобразования Лоренца в пространстве Минковского

Как преобразуется преобразование Лоренца ΛμνΛμν\Lambda^{\mu}{}_{\nu}?

Является ли время вектором в пространстве Минковского? [дубликат]

Релятивистский основной вопрос - четыре вектора, матрица Лоренца

Можно ли построить 4-вектор в специальной теории относительности, пространственной составляющей которого является электрическое поле E?

Почему выбор времени нарушает ковариацию?

Является ли симметрия пространства-времени калибровочной симметрией?