Преобразования Лоренца в пространстве Минковского

Если$\Lambda$представляет матрицу преобразования Лоренца, то преобразование контравариантных компонент$x^\mu$дан кем-то

$$x'^\mu=\Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^\nu$$ а для ковариантных компонентов задается выражением $$x^\prime_\mu =\Lambda_{\mu}{}^{\nu}x_\nu$$ мы использовали $\eta_{\mu\nu}$повышать и понижать индексы $\Lambda$. В этой нотации мы помним, что первый индекс всегда является индексом строки, а второй индекс — индексом столбца, независимо от его положения вверху или внизу. Теперь, используя отношение $$\eta_{\rho\sigma}=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\rho}\Lambda^{\nu}{}_{\sigma},$$ можно показать, что $$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=\Lambda_{\rho}{}^\sigma$$

А теперь вопросы.

1. Если мы определим$\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$быть$\mu\nu-$компонент матрицы преобразования Лоренца, тогда$=\Lambda_{\mu}{}^{\nu}$это$\mu\nu-$компонент$\Lambda^{-1}$. Тогда что делают объекты$\Lambda_{\mu\nu}$или$\Lambda^{\mu\nu}$представлять?

2. Если мы хотим взять, матричный элемент$\eta^{-1}\eta=I$, что надо написать? Должно ли это быть:$(\eta^{-1})^{\mu}{}_{\sigma}(\eta)^{\sigma}{}_{\nu}$или$(\eta^{-1})^{\mu\sigma}(\eta)^{\sigma\nu}=\delta^{\mu\nu}$, или$(\eta^{-1})_{\mu\sigma}(\eta)_{\sigma\nu}=\delta_{\mu\nu}$или что-то другое?

3. Какая связь между$\eta^{\mu\nu}$и$\eta_{\mu\nu}$и как установить это отношение?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Это дополнительный вопрос, связанный с манипулированием индексом. С$\eta=\Lambda^T\eta\Lambda$, у нас есть$\Lambda^{-1} =\eta^{-1}\Lambda^T \eta$взяв матричные элементы с обеих сторон, мы получим,

$$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=(\eta^{-1}\Lambda^T \eta)^{\sigma}{}_{\rho}$$ $$=(\eta^{-1})^{\sigma\alpha}\Lambda^{\beta}{}_{\alpha}\eta_{\beta\rho}$$ $$=?$$ Исходя из этого, как мы можем прийти к соотношению $$(\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\rho}=\Lambda_{\rho}{}^\sigma$$ Так как я не знаю действия $(\eta^{-1})^{\sigma\alpha}$, я не могу двигаться дальше (учитывая $\Lambda^{-1}=\eta^{-1}\Lambda^T\eta$в качестве отправной точки).