Функция Клейна-Гордона Грина: производная дельта-распределения?

Question

Функция Клейна-Гордона Грина: производная дельта-распределения?

Физика
распространитель
зеленые функции
квантовая теория поля
домашнее задание-и-упражнения
Дирак-дельта-распределения

Лланг

У Пескина/Шредера есть явное вычисление, показывающее, что запаздывающая функция Грина реального поля Клейна-Гордона

\begin{matrix} (2,55) & Д_{р} (Икс - у) \equiv θ ({Икс}^{0} - у^{0}) ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ \end{matrix}

$D_R(x-y) ~\equiv~ \theta(x^0 - y^0) \langle 0 | [\phi(x), \phi(y)] |0\rangle\tag{2.55}$

удовлетворяет уравнению

\begin{matrix} (2.56) & (\partial^{2} + м^{2}) Д_{р} (Икс - у) "=" - я {дельта}^{4} (Икс - у) . \end{matrix}

$(\partial^2 + m^2) D_R(x-y) = -i\delta^4(x-y).\tag{2.56}$

Я не могу проследить один конкретный шаг в выводе: кажется, что они делают замену

\begin{matrix} (А) & (\partial_{{Икс}^{0}} дельта ({Икс}^{0} - у^{0})) ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ "=" - дельта ({Икс}^{0} - у^{0}) \partial_{{Икс}^{0}} ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ . \end{matrix}

$(\partial_{x^0}\delta(x^0-y^0))\langle 0 | [\phi(x), \phi(y)] |0\rangle = -\delta(x^0-y^0)\partial_{x^0}\langle 0 | [\phi(x), \phi(y)] |0\rangle. \tag{A}$

Но я не понимаю, чем это оправдано: если мы интерпретируем $(\partial_t \delta(t)) f(t)$ как распределение и воздействовать с ним на тестовую функцию $g(t)$ , мы получаем

\begin{matrix} (Б) & \int (\partial_{т} дельта (т)) ф (т) г (т) г т "=" - \int дельта (т) \partial_{т} (ф (т) г (т)) г т "=" - \partial_{т} (ф (т) г (т)) |_{т "=" 0} . \end{matrix}

$\int (\partial_t \delta(t)) f(t)g(t)dt = - \int \delta(t) \partial_t(f(t)g(t))dt = - \partial_t(f(t)g(t))|_{t=0}.\tag{B}$

Если мы будем действовать вместо этого с $-\delta(t) \partial_t f(t)$ на $g(t)$ мы получаем

\begin{matrix} (С) & - (г (т) \partial_{т} ф (т)) |_{т "=" 0} . \end{matrix}

$-(g(t)\partial_t f(t))|_{t=0}.\tag{C}$

У кого-нибудь есть объяснение?

Дану

Если вы просто представите интеграл с каждой стороны равенства, то проблем не будет, верно?

Лланг

Да, но я не понимаю, как это мне поможет.

Дану

Почему бы вам просто не сделать весь вывод под некоторыми знаками интеграла и иметь в виду, что, возможно, вывод P&S следует рассматривать как формальные манипуляции, а не реальное доказательство? Это серьезно нестрого во всем ...

Qмеханик

@LLang: Какие страницы в P&S?

Лланг

В моем издании это страница 30, уравнение. 2.56.

Ответы (2)

Функция Клейна-Гордона Грина: производная дельта-распределения?

Если вы просто представите интеграл с каждой стороны равенства, то проблем не будет, верно?
Да, но я не понимаю, как это мне поможет.
Почему бы вам просто не сделать весь вывод под некоторыми знаками интеграла и иметь в виду, что, возможно, вывод P&S следует рассматривать как формальные манипуляции, а не реальное доказательство? Это серьезно нестрого во всем ...
В моем издании это страница 30, уравнение. 2.56.

Qмеханик · Answer 1

Peskin & Schroeder, An Intro to QFT, используют этот $^1$

\begin{matrix} (К) & я Δ (Икс - у) "=" ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ \end{matrix}

$i\Delta(x-y)~:=~\langle 0 | [\phi(x), \phi(y)] |0\rangle \tag{K}$ исчезает для пространственноподобных векторов, см. ниже уравнение. (2.53) на с. 28. В частности, за равные времена

x^{0} = y^{0}

$x^0=y^0$ , у нас есть

\begin{matrix} (л) & я Δ (0, Икс - у) "=" 0. \end{matrix}

$i\Delta(0,{\bf x}-{\bf y})~=~0.\tag{L}$

Поэтому на физическом уровне строгости

\begin{matrix} (М) & я Δ (Икс - у) дельта ({Икс}^{0} - у^{0}) "=" 0. \end{matrix}

$i\Delta(x-y)\delta(x^0-y^0)~=~0.\tag{M}$

Дифференциация ур. (М) вл. $x^0$ затем дает уравнение ОП. (А).

уравнение (A) можно также установить с помощью тестовых функций.

--

$^1$ Обозначение (K) взято из Itzykson & Zuber, QFT, eq. (3-55).

вопрос · Answer 2

Да, они используют замену дельты Дирака

{дельта}^{'} ф (Икс) "=" - дельта (Икс) ф^{'} (Икс)

$\delta' f(x)=-\delta(x)f'(x)$ И расчет выглядит следующим образом

(\partial^{2} + м^{2}) Д_{р} (Икс - у) "=" (\partial^{2} θ ({Икс}^{0} - у^{0})) ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ + θ ({Икс}^{0} - у^{0}) (\partial^{2} + м^{2}) ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ + 2 \partial_{мю} θ ({Икс}^{0} - у^{0}) \partial^{мю} ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩

$(\partial^2+m^2)D_R(x-y)=(\partial^2\theta(x^0-y^0))\langle 0 |[\phi(x),\phi(y)]|0\rangle +\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle 0 |[\phi(x),\phi(y)]|0\rangle + 2\partial_{\mu}\theta(x^0-y^0)\partial^{\mu}\langle0|[\phi(x),\phi(y)]|0\rangle$ С

θ (x^{0} - y^{0})

$\theta(x^0-y^0)$ просто зависит от времени, последний член обе производные должны быть

\partial_{t}

$\partial_t$ . Используя эти уравнения ниже

\partial_{мю} θ ({Икс}^{0} - у^{0}) "=" дельта ({Икс}^{0} - у^{0})

$\partial_{\mu}\theta(x^0-y^0)=\delta(x^0-y^0)$

\partial^{2} θ ({Икс}^{0} - у^{0}) "=" \partial_{т} дельта ({Икс}^{0} - у^{0})

$\partial^2\theta(x^0-y^0)=\partial_t\delta(x^0-y^0)$

Также коммутационное соотношение $[\Pi(x),\phi(x)]=-i\delta^3(x-y)$ и обозначения Дирака, можно вычислить

(\partial^{2} + м^{2}) Д (Икс - у) "=" - я {дельта}^{4} (Икс - у)

$(\partial^2+m^2)D(x-y)=-i\delta^4(x-y)$

Функция Клейна-Гордона Грина: производная дельта-распределения?

Лланг

Дану

Лланг

Дану

Qмеханик

Лланг

Ответы (2)

Qмеханик

вопрос

Квантовая теория поля, решение дельта/зеленой функции

Закон обратных квадратов в измерениях DDD (два случая)

Функция Грина Фейнмана в 1 + 1D для д'Аламбера

Коммутатор безмассового скалярного поля

Пропагатор из интеграла по путям

Как получить явный вид функции Грина уравнения Клейна-Гордона?

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Представление спектра течений Дирака

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Понимание функции Евклида Грина