Гамильтониан с позиционно-спиновой связью

Я решаю гамильтониан, включая термин ( Икс ⋅ С ) 2 . Гамильтониан имеет такую ​​форму:

ЧАС "=" л ⋅ С + ( Икс ⋅ С ) 2
где Икс оператор положения, л - оператор углового момента, а С является спиновым оператором. Собственное значение для л 2 и С 2 являются л ( л + 1 ) и с ( с + 1 ) .

Если гамильтониан имеет только первый член, это просто спин-орбитальная связь, и ее легко решить. Общая Дж "=" л + С , л 2 и С 2 являются квантовым числом. Однако, когда мы рассматриваем положение второго члена и спиновую связь ( Икс ⋅ С ) 2 , становится намного тяжелее. Общая Дж по-прежнему является квантовым числом. У нас есть [ ( Икс ⋅ С ) 2 , Дж ] "=" 0 . Однако, [ ( Икс ⋅ С ) 2 , л 2 ] ≠ 0 , л больше не является квантовым числом.

У кого-нибудь есть идеи, как решить этот гамильтониан?

Является Икс позиция? Если да, то что-то кажется подозрительным в единицах, если только нет коэффициентов для каждого из этих терминов, которые вы не включили.
@David: Это, очевидно, в натуральных единицах. Более тревожным упущением является кинетический член: в H существует оператор x без p-оператора. Я предполагаю, что ЧАС "=" п 2 + В ( р ) + л ⋅ С + ( Икс ⋅ С ) 2 , и что невозмутимая проблема просто принимается как должное.
@Ron: То, что это гамильтониан взаимодействия, столь же очевидно, как и то, что оно выражено в натуральных (планковских) единицах ;-) Обе эти вещи должны быть указаны в вопросе. (Я предполагал, что кинетический термин был неявным, даже не осознавая этого, пока вы не опубликовали свой комментарий)
Спасибо за ответ. Единственный способ, которым я думал, состоял в том, чтобы расширить гамильтониан в Дж г компонент. Таким образом, гамильтониан можно записать в матричной форме, а затем численно диагонализовать. Расчет будет сложным. Мне интересно, есть ли какой-то алгебраический метод?
@David: я не имел в виду планковские единицы, я имел в виду естественные единицы для атомной проблемы, где после установки hbar и m_e на 1 у вас все еще есть еще одна единица энергии. Я предполагал, что есть и кинетический член, но есть ли внешний потенциал? Это в атоме или в свободном пространстве?
@demonoid: Если другого потенциала нет , проблема тривиальна, поскольку каждая z-компонента вращения ускоряется в противоположных направлениях. Пожалуйста, укажите, есть ли у вас внешний потенциал, отличный от силы, зависящей от вращения. В отсутствие других потенциалов она также известна как сила Штерна-Герлаха.

Ответы (3)

Эта задача представляется интересной по следующей причине. Запишем это в декартовых координатах:

− 1 2 ( ∂ 2 ψ ∂ Икс 2 + ∂ 2 ψ ∂ у 2 + ∂ 2 ψ ∂ г 2 ) + 1 2 ( Икс ⋅ С ) 2 ψ + л ⋅ С ψ "=" Е ψ

где я ввел коэффициент 1/2 для дальнейшего удобства. Теперь я концентрируюсь на x и рассматриваю оператор

− 1 2 ∂ 2 ∂ Икс 2 + 1 2 ( Икс ⋅ С ) 2

Операторы рождения и уничтожения можно ввести так же, как и для гармонического осциллятора

А С "=" 1 2 ( ∂ ∂ Икс + Икс С )

и соответствующие собственные векторы будут помечены как | н , С ⟩ . Следующим шагом будет запись л ⋅ С "=" 1 2 ( Дж 2 − л 2 − С 2 ) и мы можем переформулировать эту проблему в форме

( А С † А С + 1 2 ) ψ − 1 2 ( ∂ 2 ψ ∂ у 2 + ∂ 2 ψ ∂ г 2 ) + 1 2 ( Дж 2 − л 2 − С 2 ) ψ "=" Е ψ

Я бы рекомендовал начать с проверки вашей гамильтоновой симметрии. Легко заметить, что он имеет вращательную симметрию вокруг Икс ось. Таким образом, состояния можно классифицировать в соответствии с Дж Икс .

Вероятно, вы могли бы начать с гамильтониана без Икс С термин, запишите решение в терминах Дж и (!) Дж Икс а затем изучить ( Икс С ) 2 оператор в этом базисе.

Может быть, удобнее записать ваш дополнительный член в виде ( г С ) что позволяет легко использовать стандартные основы из учебников.

Я думаю, что ОП по обозначению Икс ⋅ С означает р → ⋅ С → .
Вероятно. На первый взгляд кажется, что в этом случае сработает стандартный подход для сферически-симметричного потенциала. Скалярное произведение двух [псевдо]векторов обычно дает оператор, инвариантный относительно вращений.
Конечно, проблема очень плохо сформулирована, и у ОП, похоже, нет очень четких представлений о ней.

Я бы решил это, используя матричное представление.

Если мы умножим матрицы Паули на ℏ 2 мы можем работать на следующем основании:

| н ; С г "=" + ⟩ , | н ; С г "=" − ⟩

Обратите внимание, что

С ⋅ л "=" С Икс л Икс + С у л у + С г л г

Икс ⋅ С "=" Икс С Икс

[ л , С ] "=" 0

Вы получаете некоторую матрицу в С г база ( 2 × 2 ) и диагонализировать его (нахождение собственных состояний и собственного значения).

Гамильтониан с позиционно-спиновой связью
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v