Хитрое тождество оператора: [L2,[L2,r⃗]]=2ℏ2{L2,r⃗}[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{ L^2, \vec{r}\}?

Символ$r$в тождестве представляет (и будет представлять в тексте ниже) весь трехкомпонентный вектор операторов$\hat{\vec r} = (\hat x, \hat y, \hat z)$.

Простой способ доказать идентичность, который я нашел, состоит в том, чтобы убедиться, что все матричные элементы обеих сторон совпадают. Вычислим матричные элементы операторов$LHS,RHS$между

$$\langle j,m,a| LHS| k,n,b\rangle$$ и аналогично для правой части. Здесь, $j,m$и $k,n$являются обычными полными угловыми моментами (которые я буду считать целыми числами, только в случае орбитального углового момента) и $z$-компонент и $a,b$представляют другие квантовые числа, которые не будут иметь значения.

Преимущество в том, что$\vec L$комбинировать с$L^2$почти везде. Левая сторона оператора

$$L^2 L^2 r - 2 L^2 r L^2 + r L^2 L^2$$ поэтому матричный элемент (поскольку $L^2$действует либо на бра, либо на кет-вектор простым образом) совпадает с матричным элементом $$\hbar^4 r[ j(j+1)j(j+1) - 2j(j+1)k(k+1) + k(k+1)k(k+1)]$$ Коэффициент в скобках равен полному квадрату, $$\hbar^4 r [j(j+1)-k(k+1)]^2$$ Обратите внимание, что $\hbar^4 r$есть во всех отношениях. Правая часть имеет те же матричные элементы, что и оператор $$2\hbar^4 r [j(j+1) + k(k+1)]$$ Они не выглядят «очевидно» равными: один квартик, другой квадратичен. Но мы должны понимать, что операторы с обеих сторон $j=1$векторные операторы, из $\vec r$фактор, поэтому они изменяют угловой момент только на ноль или $\pm 1$.

Итак, достаточно сравнить выражения для этих трех вариантов; для более высоких изменений$j$, матричные элементы с обеих сторон явно равны нулю (и, следовательно, равны). Для$j=k$, матричный элемент обращается в нуль из-за четности:$r$несет отрицательную четность, в то время как четности$(-1)^l$являются$(-1)^j$или$(-1)^k$для векторов bra/ket.

Для$j=k+1$, левая сторона

$$\hbar^4 r (k+1)^2 (k+2 - k)^2 = 4\hbar^2 r (k+1)^2$$ в то время как RHS $$2\hbar^4 r[(k+1)(k+2)+k(k+1)]= 4\hbar^4 r(k+1)^2$$ так что это работает. Такая же проверка применима и к случаю $k=j+1$тоже только что $j,k$взаимозаменяемы.

Есть много других способов вычислить или подтвердить личность, но этот мне показался самым простым. Обратите внимание, что я не предполагаю никаких координат; абстрактный расчет выше работает в любых координатах.

I) Для справки, вот расчет оператора, которого OP хочет избежать. Преимущество вычисления состоит в том, что операторы не являются сэндвичем с каким-либо представлением в виде скобки, и, следовательно, нам не нужно беспокоиться о том, является ли представление в виде скобки точным. Давайте положим$\hbar=1$для простоты. Отправной точкой является CCR

$$[x^i, p_j]~=~\mathrm{i}\delta^i_j .\tag{1}$$

CCR (1) гарантирует, что определение оператора орбитального углового момента

$$L_i~:=~\varepsilon_{ijk}~ x^jp_k~\stackrel{(1)}{=}~-\varepsilon_{ijk}~ p_jx^k \tag{2}$$ является эрмитовым и не страдает от неоднозначности порядка операторов. В частности, положение и угловой момент взаимно перпендикулярны как операторы $$x^i L_i~\stackrel{(2)}{=}~0~\stackrel{(2)}{=}~L_i x^i \tag{3}.$$ Соглашение Эйнштейна о суммировании неявно предполагается везде в этом ответе.

II) Теперь давайте вычислим LHS личности OP.

$$[L_i,x^j]~=~\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}~ x^k \tag{4}$$

$$\Downarrow$$

$$[L^2,x^j]~=~\{L_i ,[L_i,x^j]\} ~\stackrel{(4)}{=}~\mathrm{i} \varepsilon_{ijk}~\{L_i ,x^k\} \tag{5}$$

$$\Downarrow$$

$$[L^2,[L^2,x^j]]~\stackrel{(5)}{=}~ \mathrm{i} \varepsilon_{ijk}~\{L_i ,[L^2,x^k]\} ~\stackrel{(5)}{=}~ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell n}\{L_i , \{L_{\ell} ,x^n\} \}$$ $$~=~ \left(\delta_{i\ell}\delta_{jn} -\delta_{j\ell}\delta_{in} \right)\{L_i , \{L_{\ell} ,x^n\} \} ~=~ \{L_i , \{L_i ,x^j\} \} -A_j, \tag{6}$$ где $$A_j~:=~ \{L_i , \{L_j ,x^i\} \} ~\stackrel{(3)}{=}~ [L_i , [L_j ,x^i] ] ~\stackrel{(4)}{=}~ \mathrm{i}\varepsilon_{ijk}[L_i ,x^k ] ~\stackrel{(4)}{=}~ \varepsilon_{jik}\varepsilon_{ik\ell}~x^{\ell}~=~2x^j .\tag{7}$$

III) С другой стороны, RHS дает

$$2\{L^2, x^j\}~=~L_i \left( \{ L_i, x^j\} + [ L_i, x^j] \right)+\left( \{ x^j, L_i \} + [ x^j, L_i ] \right) L_i ~=~ \{L_i , \{L_i ,x^j\} \} +B_j,\tag{8}$$

где

$$B_j ~:=~ L_i[ L_i, x^j] +[ x^j, L_i ]L_i ~\stackrel{(4)}{=}~\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}[L_i,x^k] ~\stackrel{(4)}{=}~-\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ik\ell}~x^{\ell}~=~-2x^j. \tag{9}$$

IV) Сравнивая LHS и RHS, мы получаем искомую идентичность OP.

$$[L^2,[L^2,x^j]]~=~2\{L^2, x^j\} . \tag{10}$$