Коммутация гамильтониана с импульсом

Когда гамильтониан инвариантен относительно сдвигов. Чтобы увидеть это, вспомните, что$P$является бесконечно малым генератором переводов. Как показано, например, Дираком в «Лекциях по квантовой механике», любой бесконечно малый генератор симметрии коммутирует с гамильтонианом, который сам является генератором сдвига времени, т. е. динамики.

Типичные примеры гамильтониана, коммутирующего с$P$— свободная частица или, в более общем смысле, любая допустимая функция$P$один. QHO является примером, где такая коммутация не выполняется, поскольку гармонический потенциал явно нарушает трансляционную симметрию (и, конечно, является функцией положения$Q$может не добираться с$P$).

Вот краткое доказательство:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = [\hat T+ V, \hat p] \\ =[\dfrac{\hat p^2}{2m}+ V, \hat p] \\ =[\dfrac{\hat p^2}{2m}, \hat p] + [V, \hat p] \\ \end{equation}$$ Заметим, что здесь, вообще говоря, потенциал является функцией x, т.е.$V(x)$. Используя свойство коммутаторов, что: $$[AB, C] =A[B,C]+[A,C]B$$

Кроме того, используя результат, что для любой функции$f$:

$$[f, \hat p]=i \hbar \dfrac{\partial f}{\partial x}$$

Мы получаем:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = \dfrac{1}{2m}(\hat p[\hat p,\hat p]+[\hat p,\hat p]\hat p)+i \hbar \dfrac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$

Оператор коммутирует сам с собой! так$[\hat p, \hat p]=0$:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = i \hbar \dfrac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$

Если$\dfrac{\partial V}{\partial x}=0$, т.е.$V$не имеет явной зависимости от$x$, затем:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = 0 \end{equation}$$

Оператор Гамильтона для квантово-механической системы представлен воображаемой единицей, умноженной на частную производную по времени. Импульс пропорционален градиенту. Когда вы выводите систему относительно двух независимых переменных (что и делает частная производная, игнорируя ваше положение как функцию времени), не имеет значения, по какой из них вы выводите ее в первую очередь.

Следовательно, производная по времени и градиент коммутируют.

Поскольку коэффициенты пропорциональности являются постоянными скалярами, они также коммутируют с двумя производными, в результате чего все они сокращаются и дают ноль. Я не знаю, как составить здесь уравнения, поэтому это лучшее, что я могу вам дать, если это не сработает:

$$\begin{align}[P_j,H]\psi &=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_j}\psi\\ &=\hbar^2\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\psi\\ &=\hbar^2\left[\frac{\partial}{\partial x_j},\frac{\partial}{\partial t}\right]\psi\end{align}$$ но$t$и$x_j$($j^\text{th}$пространственная переменная, где$x_1$это$x$-координата,$x_2=y,\ x_3=z$) обрабатываются независимо частными производными (если он был полностью выведен$\frac{d}{dt}$тогда вы превратите некоторые пространственные координаты в скорость и тому подобное), что означает, что$\left[\frac{\partial}{\partial x_j},\frac{\partial}{\partial t}\right]=0$. Следовательно$[P_j,H]=0$и$[\vec{P},H]=\vec{0}$.