Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат без «виртуальной работы»?

Я читал «Классическую механику» Гольдштейна, Пула и Сафко. В частности, раздел «Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа», в котором принцип виртуальной работы используется для вывода уравнений Лагранжа для обобщенных координат. Меня несколько смущает математика этого, в частности из-за использования смещений$\delta q_j$. Я попытался получить результат, не используя концепцию виртуальной работы. Я хочу проверить правильность этого вывода:

Настраивать

У нас есть пространство конфигурации$X=\mathbb R^n$, и путь$r:T\to X$(где$T=[0,1]$— измерение времени), которое удовлетворяет законам Ньютона:

$$m_i\ddot r_i(t)=F_i^t(r(t),t)\quad\quad \forall t\in T$$

Мы также предполагаем, что полная сила$F^t$сепарабельно по приложенной силе$F$и ограничивающие силы$f$, следующее:$F^t=F+f$, и что они консервативны, так что$F^t=F+f=-\nabla V^t=-\nabla V-\nabla V^f$, где$V:X\to \mathbb R$. Я не буду показывать, а просто скажу, что отсюда следует, что если мы определим лагранжиан$L^t(r,\dot r,t)=T(\dot r)-V^t(r,t)$и$L(r,\dot r,t)=T(\dot r)-V(r,t)$соответственно, то

$$\frac d {dt} L^t_{\dot r_i}(r(t),\dot r(t),t)=L^t_{r_i}(r(t),\dot r(t),t)\quad\quad \forall i,t.$$

Кроме того, мы предполагаем, что на самом деле путь$r$ограничен подпространством$S\subseteq X$, что происходит в результате сил связи (я не указываю явно связи, а только подпространство S, которое им удовлетворяет). Мы можем описать путь$r$в разных координатах, которые отображаются на это подпространство S: у нас есть альтернативное координатное пространство$Q=\mathbb R^m$для$m\leq n$и (изменяющееся во времени) преобразование координат$r:Q\times T\to S$, вместе с дорожкой$q:T\to Q$(чтобы интерпретировать как тот же путь в новых координатах), что:

$$r(t)=r(q(t),t)\quad \forall t\in T$$ Отсюда легко вывести$\dot r$как функция$q$координаты, определяя$\dot r_i(q,\dot q, t)=\sum_j\frac {\partial r_i(q,t)}{\partial q_j} \dot q_j+\frac {\partial R_i}{\partial t}$(можно легко показать, что это работает).

Лагранжиан в обобщенных координатах$q$

Теперь я определяю «производный» лагранжиан$L(q,\dot q, t)=L(r(q(t),t),\dot r(q(t),\dot q(t),t),t)$

Покажем теперь, что уравнения Эйлера-Лагранжа выполняются и в обобщенных координатах$q$:

$$\frac d {dt} L_{\dot q_j}(q(t),\dot q(t),t)=L_{q_j}(q(t),\dot q(t),t)\quad\quad \forall j,t.$$

Просто расширяем обе стороны, и пользуясь тем, что$L^t=L+V^f$и$\frac d {dt}L^t_{\dot r_i}=\frac d {dt}L_{\dot r_i}$), и показать четыре равенства:

$$\begin{align}\frac d {dt} L_{\dot q_j}(q(t),\dot q(t),t)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac d {dt}\left[\sum_i L_{\dot r_i} \frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j} \right]&= \sum_i \underset{=}{\underbrace{\left[\frac d {dt}L^t_{\dot r_i}\right]}} \underset{=}{\underbrace{\frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j}}} + L_{\dot r_i} \underset{=}{\underbrace{\left[\frac d {dt}\frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j} \right]}}\\ L_{q_j}(q(t),\dot q(t),t)=\sum_i {\left[L^t_{r_i}+\nabla V^f\right]} {\frac {\partial r_i}{\partial q_j}} +L_{\dot r_i} {\left[\frac {\partial \dot r_i}{\partial q_j} \right]} &=\sum_i \;\;\;\overbrace{\left[L^t_{r_i}\right]} \;\;\;\overbrace{\frac {\partial r_i}{\partial q_j}} +\; L_{\dot r_i} \;\; \overbrace{\left[\frac {\partial \dot r_i}{\partial q_j} \right]} \;\;-\;\;\overset {=\;0}{\overbrace{ \sum_i f_i\frac {\partial r_i}{\partial q_j}}} \end{align}$$

Три равенства следуют из следующего:

• Первое равенство - это просто уравнение Эйлера-Лагранжа для координат$r$.

• Второе равенство следует из простого дифференцирования$\dot r(q,\dot q,t)$относительно$\dot q$.

• Третье равенство следует из второго равенства и простого дифференцирования.

• Четвертое равенство эквивалентно предположению о нулевой виртуальной работе для сил связи, хотя я не использовал понятие виртуальной работы, формулируя его.

Заключение

Мне кажется, что я получил желаемый результат, не используя понятие виртуальной работы, и более простым способом, чем если бы мы его использовали. Верен ли этот вывод? Я что-то пропустил?