Математическое обоснование преобразования Лежандра

Если я начну с функционала вида

Дж [ у ] "=" ∫ а б ф ( Икс , у , у ′ ) д Икс

и найти его уравнения Эйлера-Лагранжа

∂ ф ∂ у − д д Икс ∂ ф ∂ у ′ "=" 0 "=" д д Икс ∂ ф ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у .

Я получаю ОДУ второго порядка

д д Икс ∂ ф ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" ( ∂ 2 ф ∂ у ′ ∂ у ′ ) д 2 у д Икс 2 + ( ∂ 2 ф ∂ у ∂ у ′ ) д у д Икс + ∂ 2 ф ∂ Икс ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" 0

Теперь каждое ОДУ более высокого порядка можно разбить на систему ОДУ первого порядка в у и производная М "=" д у д Икс , давая

д д Икс ∂ ф ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" ( ∂ 2 ф ∂ у ′ ∂ у ′ ) д М д Икс + ( ∂ 2 ф ∂ у ∂ у ′ ) М + ∂ 2 ф ∂ Икс ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" 0.

С этой точки зрения уравнения Гамильтона

{ д у д Икс "=" − ∂ ЧАС ∂ п д п д Икс "=" − ∂ ЧАС ∂ у

представляют собой просто систему уравнений первого порядка, из-за чего моя вышеприведенная система ОДУ первого порядка выглядит более симметричной после подходящей замены переменных.

Мой вопрос, глядя на

д д Икс ∂ ф ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" ( ∂ 2 ф ∂ у ′ ∂ у ′ ) д 2 у д Икс 2 + ( ∂ 2 ф ∂ у ∂ у ′ ) д у д Икс + ∂ 2 ф ∂ Икс ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" 0

должно быть возможно понять, почему возникает преобразование Лежандра, во-первых, потому что это преобразование, использующее производные для изменения переменных, а также потому, что оно должно просто привести к нулю некоторые члены в этой оде второго порядка, чтобы все выглядело лучше, но как вы видите это явно?

Было бы здорово, если бы вы могли использовать мои обозначения, т.е. Дж [ у ] и т.д... как видишь, я пробрался ЧАС выше, чего на самом деле не должно быть, я хотел бы увидеть, как это происходит в моих обозначениях - спасибо!

Подробнее о преобразовании Лежандра: physics.stackexchange.com/q/4384/2451 и ссылки в нем.
Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/476627/11127

Ответы (2)

Если я правильно понимаю ваш вопрос, вы просите довольно простой взгляд на преобразование Лежандра, которое является гораздо более элегантным способом преобразования системы ОДУ в ОДУ первого порядка, чем это может быть видно таким образом. Я бы порекомендовал вам взглянуть на «Математические методы классической механики» В. Арнольда, чтобы понять, как на самом деле работает преобразование Лежандра и почему мы его используем.

Вы немного неправильно понимаете преобразование в переменную импульса, которая определяется как

(1) п "=" ∂ ф ∂ у ′
и не прямо пропорционально у ′ . Два пропорциональны только в том ограниченном обстоятельстве, что ф "=" 1 2 м ( у ′ ) 2 − В ( у ) , и связь в целом более сложная. Единственное, что вам нужно, это чтобы (1) было правильным преобразованием координат, что означает запрос гессиана
∂ 2 ф ∂ у ′ ∂ у ′
быть неособым и положительно определенным; Отсюда видно, что функциональная зависимость п на у ′ и у действительно может быть очень общим.

Учитывая это, если вы просто хотите посмотреть, как это очищает обозначения, вам гораздо лучше не расчленять исходное уравнение Эйлера-Лагранжа,

(2) д д Икс ∂ ф ∂ у ′ − ∂ ф ∂ у "=" 0 ,
что превращается в уравнения Гамильтона
{ ∂ ф ∂ у ′ "=" п , д п д Икс "=" ∂ ф ∂ у ,
просто подставив правильное определение (1) и либо обратив первое уравнение, чтобы получить д у д Икс с точки зрения п и у , или просто понимая, что он является частью системы двух ОДУ первого порядка в у и п .

Спасибо за понимание, но я надеялся, что, расчленив уравнения EL, мы увидим, что некоторые члены исчезают или что-то в этом роде, когда мы делаем определенную замену переменных. Я читал Вариационное исчисление Гельфанда, и одним из многих мотивов, которые он приводит, является то, что мы просто хотим, чтобы система первого порядка, полученная в результате этого расчленения, выглядела более симметричной, и я надеялся, что это должно быть очевидно, когда вы посмотрите на оду 2-го порядка. , но даже после подстановки вашего п "=" ∂ ф ∂ у ′ это все еще выглядит произвольно в этом контексте, я надеялся, что потребность в LT просто
выскочить либо из расчленения, либо из того, что происходит после того, как вы разложите его на систему од первого порядка. Неужели нельзя увидеть необходимость LT с этой точки зрения? Кажется, так и должно быть, поскольку LT представляет собой преобразование, включающее производные, и в нашем ОДУ второго порядка мы в основном пытаемся исключить производные, чтобы вещи выглядели более симметричными, если вы что-нибудь подумаете или заметите что-то, я был бы очень признателен.
Я думаю, что это « выпрыгивает» из исходного уравнения EL. Вы хотите изменить переменные на некоторые п "=" п ( у , у ′ ) что сделает уравнение (2) первого порядка по п ? Тогда самый простой выбор - это то, что внутри д д Икс [ ⋯ ] . Все, что вам нужно сделать, это доказать, что ваше определение дает второе ОДУ первого порядка. Если вы хотите сделать их симметричными, вам нужно инвертировать ∂ ф / ∂ у ′ , но я думаю, что это небольшая цена, которую нужно заплатить, если у вас есть уравнение в п ′ .

Первый незначительный комментарий к полезному ответу Эмилио. В его уравнении (2) ясно, что «f» — это лагранжиан, обычно называемый «L». Интересно то, что Эмилио, находя «уравнения Гамильтона», находит их через «f», так что а) это означает, что L удовлетворяет уравнениям Гамильтона, если я не ошибаюсь. б) Это было сделано без использования полного преобразования Лежандра. В частности, термин Лежандра «р*х» не применялся.

Теперь к исходному вопросу, как и почему возникает преобразование Лежандра (при переходе от лагранжевой механики к гамильтоновой механике. i) Qmechanic указал одну причину, т. е. поэтому «ОДУ более высокого порядка можно разбить на систему ОДУ первого порядка». . Есть надежда, что уравнения первого порядка могут быть решены легче. ii) Для меня вторая наиболее мотивирующая причина находится не в уравнениях Лагранжа, а в самом преобразовании Лежандра. По моему опыту, преобразования Фурье или Лапласа используются для получения другой формы, в которой они могут быть решены, но затем это решение «хочет» преобразовать обратно в исходный набор переменных для интерпретации и использования. Итак, мы хотели бы преобразовать уравнение второго порядка в (x, dx/dt) в пару уравнений первого порядка в (x, р) быть обратимым. Теперь посмотрим на определение преобразования Лежандра: H(x,p) = px - L(p,x) (IV), используя ур. (1) прямым способом переформулировать L в терминах различных имен переменных. Таким же образом мы можем переименовать переменные в H и переставить (IV), чтобы получить: L(x, dx/dt) = p x - H(x,dx/dt) (V) Вуаля! У нас есть обратное преобразование Лежандра.

Если вы еще не достаточно мотивированы, вы получите гамильтонову форму, есть другие симметрии и преимущества. См. https://www2.ph.ed.ac.uk/~mevans/sp/LT070902.pdf

Математическое обоснование преобразования Лежандра
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v