Трехмерный изотропный гармонический осциллятор гамильтониан

Рассмотрим гамильтониан для изотропного трехмерного гармонического осциллятора:

ЧАС "=" п 2 2 м + м ю 2 р 2 2 ,

где п и р являются обычными операторами импульса и положения в трех измерениях. Я хочу показать, что если мы определим

Т "=" 1 2 ℏ ( м ю   р − я м ю п ) ,

Мы будем иметь ЧАС "=" ℏ ю ( Т Т † + 3 / 2 ) .

Для этого я только что вычислил Т † используя тот факт, что р и п являются эрмитовыми и вычислили произведение:

Т Т † "=" 1 2 ℏ ( м ю   р − я м ю п ) ( м ю   р + я м ю п ) ,

то есть:

Т Т † "=" 1 2 ℏ ( м ю р 2 + я р п − я п р + п 2 м ю ) ,

и используя тот факт, что [ р , п ] "=" я ℏ мы получаем

Т Т † "=" 1 2 ℏ ( м ю р 2 − ℏ + п 2 м ю ) "=" 1 ℏ ю ( ЧАС − ℏ ю 2 ) ,

другими словами, у нас есть ЧАС "=" ℏ ю Т Т † + ℏ ю 2 "=" ℏ ю ( Т Т † + 1 2 ) .

Другими словами, здесь что-то совсем не так. Я пробовал тот же расчет снова несколько раз, но всегда получаю то же самое. Что мне здесь не хватает? Как в конечном итоге ЧАС "=" ℏ ю ( Т Т † + 3 / 2 ) ?

Сначала я подумал, что это не по теме, но внимательно изучив правила домашних заданий, я передумал. Однако я мог видеть, что спор идет в любом направлении.

Ответы (1)

Ответ дает Прахар в своих комментариях:

(01) Т ⋅ Т † "=" Т 1 Т 1 † + Т 2 Т 2 † + Т 3 Т 3 †
Для к "=" 1 , 2 , 3 (1)
(02) Т к Т к † "=" 1 2 ℏ ( м ю   р к − я м ю п к ) ( м ю   р к + я м ю п к )

(03) Т к Т к † "=" 1 2 ℏ ( м ю р к 2 + я р к п к − я п к р к ⏟ − ℏ + п к 2 м ю )
и т. д.....
(04) Т Т † "=" 1 2 ℏ ( м ю р 2 − 3 ℏ + п 2 м ю ) "=" 1 ℏ ю ( ЧАС − 3 ℏ ю 2 )

(1) В следующих уравнениях (02) и (03) предполагается, что мы не используем правило суммирования Эйнштейна для повторяющихся индексов.

Трехмерный изотропный гармонический осциллятор гамильтониан
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v