Когерентная эволюция состояния для данного необычного гамильтониана

Я пытаюсь вычислить временную эволюцию когерентного состояния | α ⟩ используя заданный гамильтониан вида:

ЧАС ^ "=" ℏ ю ( а ^ † а ^ − α ( а ^ + а ^ † ) ) .
- Моя первая попытка состояла в том, чтобы найти действие ЧАС ^ над состоянием Фока | н ⟩ благодаря тому, что я могу выразить когерентные состояния через состояния Фока:
| α ⟩ "=" е − α 2 2 ∑ н "=" 0 α н н ! | н ⟩ ,
и используя это ф ( ЧАС ^ ) | н ⟩ "=" ф ( час н ) | н ⟩ атаковать е − я ЧАС ^ т / ℏ который появляется при вычислении временной эволюции.

Моя проблема : я нашел ЧАС ^ | н ⟩ быть:

ЧАС ^ | н ⟩ "=" ℏ ю ( н | н ⟩ − α н | н − 1 ⟩ − α н + 1 | н + 1 ⟩ ,
где я застрял как то не по форме ЧАС ^ | н ⟩ ∝ | н ⟩ поэтому я не знаю, что делать с экспонентой:
е я ЧАС ^ т / ℏ | н ⟩ "=" е − я ю т ( а ^ † а ^ − α ( а ^ + а ^ † ) ) | н ⟩ "=" ?
Я попытался манипулировать экспоненциальным членом, используя формулу BCH, но ничего не добился, кроме запутанного результата.

РЕДАКТИРОВАТЬ : здесь я добавляю свой полученный ответ, используя формулу BCH:

| α ( т ) ⟩ "=" е − α 2 2 е − ю 2 т 2 ( 1 + α 2 ) 2 ∑ н "=" 0 α н н ! е − я ю т ( н − α н + 1 − α н ) | н ⟩ ,
что, на мой неопытный взгляд, кажется неверным. Заранее спасибо.

хорошая проблема кстати!

Ответы (1)

Да, вам нужно использовать BCH, но вы можете увидеть свой путь, если вместо этого признаете, что ваш гамильтониан может быть записан как

ЧАС ^ "=" п ^ 2 2 м + 1 2 м ю 2 ( Икс ^ − κ ) 2
для некоторых κ , т.е. как сдвинутый гармонический осциллятор. Что вы можете сделать, так это рассмотреть переведенный гамильтониан
ЧАС ^ "=" е β ( а ^ − а ^ † ) а ^ † а ^ е − β ( а ^ − а ^ † ) "=" Т ( β ) а ^ † а ^ Т − 1 ( β )
за подходящий выбор β и помните, что когерентное состояние само по себе является преобразованием основного состояния, чтобы получить что-то вроде
ЧАС ^ | α ⟩ "=" Т ( β ) а ^ † а ^ Т − 1 ( β ) Т ( α ) | 0 ⟩ .

Во-первых: Спасибо за ответ! Во-вторых: такое открытие, что Isle Of Everywhere вкусный! Я отредактировал ответ, где появляется мой запутанный результат с BCH, я не знаю, где я мог ошибиться в своих расчетах. Меня устраивает предоставленный вами ответ, и я не хочу показаться грубым, но я хотел бы быть уверенным в другом методе на случай, если я ничего не смогу распознать, поэтому я бы подождал еще немного, чтобы закрыть вопрос.
@MarcC не так просто сделать BCH, так как коммутатор [ а ^ † а ^ , а ^ † + а ^ ] коммутирует либо с а ^ † а ^ или а ^ † + а ^ ... :(
Когерентная эволюция состояния для данного необычного гамильтониана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v