Вычисление ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\угол

Question

Вычисление ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\угол

Траян

Данный гамильтониан $H=\frac{P^2}{2}+\frac{\omega^2}{2}Q^2$ , вычислить $\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]|0\rangle$ , где $T$ это временной заказ продукта, $|0\rangle$ является основным состоянием. Теперь установите $\hbar=m=1$ и определить

Вопрос (т) "=" е^{я ЧАС т} Вопрос е^{- я ЧАС т}

$Q(t)=e^{iHt}Qe^{-iHt}$ и

Вопрос | д ⟩ "=" д | д ⟩

$Q|q\rangle=q|q\rangle$

По-видимому, намек на этот вопрос заключается в том, что $H|n\rangle=\left(n+\frac{1}{2}\right)\omega |n\rangle$ и

Вопрос "=" \frac{1}{\sqrt{2 ю}} (а + а^{†})

$Q=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^{\dagger})$

Теперь я не вижу, как подойти к этому вопросу. Форма $\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]|0\rangle$ предложил бы использовать формулу Фейнмана

⟨ 0 | Т [Вопрос (т_{2}) Вопрос (т_{1})] | 0 ⟩ "=" \frac{1}{Z} \int Д д \underline{д} (т_{1}) \underline{д} (т_{2}) е^{я \int_{\infty}^{\infty} г т л (\underline{д}, \underline{\dot{д}})}

$\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]|0\rangle=\frac{1}{Z}\int Dq \underline{q}(t_1)\underline{q}(t_2)e^{i\int_{\infty}^{\infty}dt L(\underline{q},\underline{\dot{q}})}$ но это соответствует подсказке, и я не вижу, куда с этим идти.

Каков правильный подход к этому вопросу?

Мэн Ченг

Вы должны сначала выяснить, что такое

Q (t)

$Q(t)$ явно с точки зрения

a

$a$ и

a^{†}

$a^\dagger$ , используя уравнение движения Гейзенберга.

Ответы (1)

Вычисление ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\угол

Вы должны сначала выяснить, что такое $Q(t)$ явно с точки зрения $a$ и $a^\dagger$ , используя уравнение движения Гейзенберга.

Леандро М. · Answer 1

Нет, самый простой способ сделать это — не использовать эту формулу, которая, кстати, является частью совершенно другой формулировки квантовой механики. $q$ песок $\dot{q}$ Внутри интеграла по путям находятся классические пути со значениями c-чисел, интерференция которых даст квантовое содержание в корреляционных функциях. Проблема, которую вас просят решить, кажется, направлена на обучение каноническому формализму , где наблюдаемые записываются в терминах операторов создания и уничтожения. Разница между этими двумя точками зрения немного смутила меня, когда я впервые изучал QFT.

У вас уже есть все необходимое, чтобы ответить на вопрос. Возможно, будет проще, если вы изначально посчитаете $\langle 0 | T[Q(0)(Q(0)]|0\rangle$ : тогда вы совершенно ясно увидите, что написание $Q$ с точки зрения операторов создания и уничтожения упрощает вычисление матричного элемента.

Затем, чтобы сделать общий случай, вам нужно иметь дело с упорядоченным по времени продуктом, что означает, что вам придется разбить выражение на два «случая» — это совершенно нормально — или вы можете использовать пошаговые функции Хевисайда. Независимо от того, что вы решите сделать, у вас будет гамильтониан в экспоненте, но действие гамильтониана на количество собственных состояний простое, и вы сможете найти ответ прямым вычислением.

Извините, я запутался в двух точках зрения. Не могли бы вы уточнить это? Я не знал, что есть две точки зрения.
Просто для ясности: это различие в основном важно для квантовой теории поля, которую, как я полагаю, вы изучаете. В квантовой механике интеграл по путям менее полезен для вычислений, поэтому квантовому механику с практичным мышлением никогда не придется беспокоиться об этом.
Суть его такова: интеграл по путям отбирает «классические» траектории в том смысле, что они имеют четко определенные $x$ и $\dot{x}$ во все времена. Я ставлю кавычки, потому что, конечно, траектории не подчиняются классическим уравнениям движения. Более того, они могут даже пробовать «невозможные» пути, такие как те, для которых $\dot{x}$ превышает единицу. Это нормально, потому что такие пути всегда деструктивно мешают.
Квантово-механическое содержание теории получается путем вычисления корреляционных функций по формулам континуального интеграла. Именно взвешивание различных путей разными фазами гарантирует, что формализм даст правильный ответ. Повторим еще раз: ничто внутри интеграла по путям не является «оператором». $x$ и $\dot{x}$ - это просто функции с числовым значением c, которые интегрируются.
Канонический формализм, напротив, рассматривает $x$ и $p$ как операторы повсюду. Если вы хотите вычислить корреляционную функцию, вы должны выразить операторы в терминах операторов создания и уничтожения и увидеть их действие на состояние вакуума. Это, в некотором смысле, «истинная» основа квантовой теории поля, потому что именно в этой формулировке проявляется природа гильбертова пространства. Например, то, что мы подразумеваем под «частицей», есть не что иное, как собственное состояние числового оператора.
Вот почему у вас есть такие выражения, как последняя формула в вашем ОП: она распознает $Q$ в качестве оператора и вводит интеграл по путям как удобный инструмент вычисления корреляционных функций (в данном случае пропагатора). Людей может сбить с толку понимание того, что $Q$ s слева — операторы, а $q$ песок $\dot{q}$ s в правой части - это c-числа, и не так много книг прямо говорят об этом. Меня это смутило, и, кажется, вас тоже.

Вычисление ⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩⟨0|T[Q(t2)Q(t1)]|0⟩\langle0|T[Q(t_2)Q(t_1)]| 0\угол

Траян

Мэн Ченг

Ответы (1)

Леандро М.

Траян

Леандро М.

Леандро М.

Леандро М.

Леандро М.

Леандро М.

Гармонический осциллятор

Как получить оператор углового момента для трехмерного гармонического осциллятора?

Обращается ли в нуль средний импульс для собственного состояния простого гармонического осциллятора?

Как использовать лестничные операторы?

Координатное представление оператора квантовой лестницы?

Гармонический осциллятор с коррекцией Маслова с мнимой частотой

Амплитуды перехода

Угловой момент трехмерного гармонического осциллятора в двух разных основаниях

Эволюция гармонического осциллятора в формулировке интеграла по путям

Доказательство коммутационного соотношения [H^,a^]=−ℏωa^[H^,a^]=−ℏωa^[\hat{H},\hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}